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Línea 207: |
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| | ==Problema 4.72== |
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| | Mostrar que: |
| | <math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | Y |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | '''Solución:''' |
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| | La componente perpendicular de la transmitancia <math>T</math> esta dada por: |
| | <math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \bot }^{ 2 }\quad ......\left( 1 \right) </math> |
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| | Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es: |
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| | <math>{ t }_{ \bot }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | <math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | Sustituyendo el valor calculado de <math>{ t }_{ \bot }^{ 2 }</math> en la Ec. <math>\left( 1 \right) </math>, se obtiene: |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) \quad ......\left( 2 \right) </math> |
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| | De la ley de Snell <math>{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } </math> |
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| | <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \quad ......\left( 3 \right) </math> |
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| | Sustituyendo el valor de <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } </math> de la Ec. <math>\left( 3 \right) </math> en la Ec. <math>\left( 2 \right) </math>, obtenemos: |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\frac { 4\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\left( \frac { \left( 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \right) \left( 2\sin { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
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| | Comprando que: |
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| | <math>{ T }_{ \bot }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } } </math> |
| | |
| | Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de <math>T</math>, se la siguiente manera: |
| | |
| | El comportamiento paralelo de la transmitancia <math>T</math>, se expresa como: |
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| | <math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) { t }_{ \parallel }^{ 2 }\quad ......\left( 4 \right) </math> |
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| | Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es: |
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| | <math>{ t }_{ \parallel }=\frac { 2\sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos { ({ { \theta }_{ i }-\theta }_{ t }) } } </math> |
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| | <math>{ { t }_{ \parallel }^{ 2 } }=\frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | Sustituyendo el valor de <math>{ t }_{ \parallel }^{ 2 }</math>, en la Ec. <math>\left( 4 \right) </math>, obtenemos: |
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| | <math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
| | |
| | De la Ec. <math>\left( 3 \right) </math> |
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| | <math>\frac { { n }_{ t } }{ { n }_{ i } } =\frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } </math> |
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| | <math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { \sin { { \theta }_{ i } } }{ \sin { { \theta }_{ t } } } \frac { \cos { { \theta }_{ t } } }{ \cos { { \theta }_{ i } } } \right) \left( \frac { 4\sin ^{ 2 }{ { \theta }_{ t } } \cos ^{ 2 }{ { \theta }_{ i } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
| | |
| | <math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { 4\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
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| | <math>{ T }_{ \parallel }=\left( \frac { (2\sin { { \theta }_{ i } } \sin { { \theta }_{ t })(2 } \cos { { \theta }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } ) }{ \sin ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ { (\theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } \right) </math> |
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| | Comprobando así que: |
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| | <math>{ T }_{ \parallel }=\frac { \sin { 2{ \theta }_{ i } } \sin { 2{ \theta }_{ t } } }{ \sin ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \cos ^{ 2 }{ ({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) } } </math> |
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| | --[[Usuario:Luis Gutierrez|Luis Gutiérrez Melgarejo]] |
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 4.45
Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de
muestre que , Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal
- Solución:
- Tenemos los siguientes datos conocidos:
- Indice de refracción del aire es: 1
- Indice de refracción del dieléctrico es :
- Ángulo de incidencia =
- Ángulo de refracción =
- Aplicando la ley de Snell:
- Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
- La Ecuación (1) se reduce:
- De la última expresión tenemos:
- Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando muy pequeñas :
- Haciendo la consideración:
- ocupando , y sustituyendo en la ultima ecuación:
- Factorizando
- Reduciendo:
- Finalmente tenemos:
- --Luis Manuel Chávez Antonio
Ejercicio 4.64
Verifique que:
.........[4.49]
para en una interfaz de vidrio crown y aire
- Solución:
Datos:
Angulo de incidencia = 30°
Indice de refracción del cristal = 1.52
Indice de refracción del aire = 1
Angulo de transmisión
Usando la ley de Snell obtenemos:
En angulo de transmisión sera:
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:
Al sumar los valores de y obtenemos:
Por lo tanto
- --Enrique Ortiz Martinez
Ejercicio 4.21
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde . Discuta la forma de la curva.
Solución:
- La ecuación de la refracción de Snell está dada por:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
- Pero n_i=1
- Por lo tanto
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
Despejando θ_t se tiene que
Error al representar (error de sintaxis): θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.
Los datos están en el siguiente documento.
--Fernando Valencia Hernández
Problema 4.72
Mostrar que:
Y
Solución:
La componente perpendicular de la transmitancia esta dada por:
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:
Sustituyendo el valor calculado de en la Ec. , se obtiene:
De la ley de Snell
Sustituyendo el valor de de la Ec. en la Ec. , obtenemos:
Comprando que:
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de , se la siguiente manera:
El comportamiento paralelo de la transmitancia , se expresa como:
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:
Sustituyendo el valor de , en la Ec. , obtenemos:
De la Ec.
Comprobando así que:
--Luis Gutiérrez Melgarejo