Optica: Capitulo4-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4, con el siguiente formato:

Problema 1

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma

--Gael

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Ejercicio 4.45

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Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de ${\theta }_{i}$ muestre que ${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal ${\left\lceil {-r}_{\bot }\right\rceil }_{{\theta }_{i}\sim 0}={\frac {n-1}{n+1}}$

Solución:

Tenemos los siguientes datos conocidos:

Indice de refracción del aire ${n}_{i}$ es: 1

Indice de refracción del dieléctrico ${n}_{t}$ es :$n$

Ángulo de incidencia = ${\theta }_{i}$

Ángulo de refracción = ${\theta }_{t}$

Aplicando la ley de Snell:

${n}_{i}sin{\theta }_{i}={n}_{t}sin{\theta }_{t}$

$sin{\theta }_{i}=nsin{\theta }_{t}\quad ......(1)$

Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:

$sin{\theta }_{t}={\theta }_{i}$

$sin{\theta }_{t}={\theta }_{t}$

La Ecuación (1) se reduce:

$n{\theta }_{t}={\theta }_{i}$

De la última expresión tenemos:

${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$

Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando ${\theta }_{i}$ muy pequeñas :

${r}_{\bot }=-{\frac {sin({\theta }_{i}-{\theta }_{t})}{sin({\theta }_{i}+{\theta }_{t})}}\quad .....(a)$

Haciendo la consideración:

${r}_{\bot }={\frac {({\theta }_{t}-{\theta }_{i})}{({\theta }_{i}+{\theta }_{t})}}$

ocupando ${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$ , y sustituyendo en la ultima ecuación:

${r}_{\bot }={\frac {({\frac {{\theta }_{i}}{n}}-{\theta }_{i})}{({\theta }_{i}+{\frac {{\theta }_{i}}{n}})}}$

Factorizando ${\theta }_{i}$

${r}_{\bot }={\frac {{\theta }_{i}({\frac {1}{n}}-1)}{{\theta }_{i}(1+{\frac {1}{n}})}}$

Reduciendo:

${r}_{\bot }={\frac {(1-n)}{(1+n)}}$

Finalmente tenemos:

${\left(-{r}_{\bot }\right)}_{{\theta }_{i}\approx 0}={\frac {n-1}{n+1}}$

--Luis Manuel Chávez Antonio

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Ejercicio 4.64

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Verifique que:

$t_{\perp }+(-r_{\perp })=1$.........[4.49]

para $\theta _{i}=30$ en una interfaz de vidrio crown y aire $(n_{ti}=1.52)$

Solución:

Datos:

Angulo de incidencia $(\theta _{i})$ = 30°

Indice de refracción del cristal $(n_{f})$ = 1.52

Indice de refracción del aire = 1

Angulo de transmisión $(\theta _{t})$

Usando la ley de Snell obtenemos:

${\frac {sen(\theta _{i})}{sen(\theta _{t})}}={\frac {n_{t}}{n_{i}}}$

${\frac {sen(30)}{sen(\theta _{t})}}=1.52$

${\frac {0.5}{sen(\theta _{t})}}=1.52$

$sen(\theta _{t})={\frac {0.5}{1.52}}$

En angulo de transmisión $(\theta _{t})$ sera:

$\theta _{t}=sen^{-1}\left({\frac {0.5}{1.52}}\right)$

$\theta _{t}=19.2$

El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:

$t_{\perp }={\frac {2n_{i}cos(\theta _{i})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{f}cos(\theta _{t})}}$

$t_{\perp }={\frac {2cos(30)}{cos(30)+(1.52)cos(19.2)}}$

$t_{\perp }={\frac {(2)(0.86)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}}$

$t_{\perp }=0.7514$

Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:

$r_{\perp }={\frac {n_{i}cos(\theta _{i})-n_{t}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t})}}$

$r_{\perp }={\frac {(0.86)-(1.52)(0.94)}{(0.86)+(1.52)(0.94)}}$

$r_{\perp }=-0.2486$

Al sumar los valores de $t_{\perp }$ y $r_{\perp }$ obtenemos:

$t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+[-(-0.2486)]$

$t_{\perp }+(-r_{\perp })=0.7514+0.2486$

$t_{\perp }+(-r_{\perp })=1$

Por lo tanto $t_{\perp }+(-r_{\perp })=1$

--Enrique Ortiz Martinez

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Ejercicio 4.21

Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde $n_{v}a=1.5$. Discuta la forma de la curva.

Solución:

La ecuación de la refracción de Snell está dada por:

Error al representar (error de sintaxis): n_i sin⁡(θ_i )=n_t sin⁡(θ_t )

Pero n_i=1

Por lo tanto

Error al representar (error de sintaxis): n_i sin⁡(θ_i )=n_t sin⁡(θ_t )

Despejando θ_t se tiene que Error al representar (error de sintaxis): θ_t=sin^(-1)⁡(sin⁡θ_i /n_t )

En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica

Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.

Los datos están en el siguiente documento.

--Fernando Valencia Hernández

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