Optica: Capitulo3-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3, con el siguiente formato:

Problema 1

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma

--Gael

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Ejercicio 3.6

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El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por: ${\overrightarrow {E}}={E}_{0}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}cos\left(kx-\varpi t\right){\overrightarrow {j}}$ a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k. (c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.

Solución:

Analizando en el origen en z=0, tenemos que , $sin{\frac {0}{{z}_{0}}}=0$ , entonces el campo eléctrico es:

${\overrightarrow {E}}=0{\overrightarrow {j}}$

Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en $z={z}_{0}$, entonces el campo tiene la forma :

${\overrightarrow {E}}={E}_{0}sin{\frac {\pi {z}_{0}}{{z}_{0}}}cos\left(kx-\varpi t\right){\overrightarrow {j}}$

Notemos que el $sin\pi =0$, implica:

${\overrightarrow {E}}=0$

Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección $y$ y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en $z={z}_{0}$

b) Usando la ecuación de onda tenemos:

${\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial {y}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial {z}^{2}}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial {t}^{2}}}=0.........(1)$

Podemos evaluar la expresión para $k$ , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:

${E}_{y}={E}_{0}sin{\frac {\pi {z}}{{z}_{0}}}cos\left(kx-\varpi t\right)$

Haciendo las derivadas:

${\frac {\partial {E}_{y}}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({E}_{y}={E}_{0}sin{\frac {\pi {z}}{{z}_{0}}}cos\left(kx-\varpi t\right)\right)$

$=-k{E}_{o}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}sin(kx-\varpi t)$

La segunda derivada es:

${\frac {\partial {E}_{y}}{\partial {x}^{2}}}=-{k}^{2}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}cos(kx-\varpi t)........(2)$

Similar, para las segundas parciales con respecto a $y$ y $z$ , tenemos:

${\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial y^{2}}}=0........(3)$

${\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {-{\pi }^{2}}{{z}_{0}^{2}}}{E}_{0}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}cos(kx-\varpi t)........(4)$

${\frac {{\partial }^{2}{E}_{y}}{\partial t^{2}}}=-{\varpi }^{2}{E}_{0}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}cos(kx-\varpi t)........(5)$

Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:

$(-{k}^{2}-{\frac {{\pi }^{2}}{{z}_{0}^{2}}}+{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}){E}_{0}sin{\frac {\pi z}{{z}_{0}}}cos(kx-\varpi t)=0$

Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:

$(-{k}^{2}-{\frac {{\pi }^{2}}{{z}_{0}^{2}}}+{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}})=0$

Despejando:

$-{\frac {{\pi }^{2}}{{z}_{0}^{2}}}+{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}={k}^{2}$

${k={\left(-{\frac {{\pi }^{2}}{{z}_{0}^{2}}}+{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

De la expresión anterior factorizamos un ${\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}$, resulta:

${k={\left(\left({\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {{\pi }^{2}{c}^{2}}{{\varpi }^{2}{z}_{0}^{2}}}\right)\right)}^{\frac {1}{2}}}$

Finalmente la expresión para $k$ es:

${k={\frac {\varpi }{c}}{\sqrt {1-{\frac {{\pi }^{2}{c}^{2}}{{\varpi }^{2}{z}_{0}^{2}}}}}}$

(c) La velocidad de fase de la onda será $\nu ={\frac {\varpi }{k}}$

Simplificando tenemos:

$\nu {={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {{\pi }^{2}{c}^{2}}{{\varpi }^{2}{z}_{0}^{2}}}}}}}$

--Luis Manuel Chávez antonio

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Ejercicio 3.62

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Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:

$(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}$

donde $C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}$

Solución:

Ecuación de dispersión:

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$..........(3.70)

La ecuación dada es :

$(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}$

sustituimos el valor $C=4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}/Nq_{e}^{2}$ en la ecuación dada:

$(n^{2}-1)^{-1}=-\left({\frac {4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)\lambda ^{-2}+\left({\frac {4\pi ^{2}c^{2}\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)\lambda _{0}^{-2}$

$(n^{2}-1)^{-1}=-\left({\frac {4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)\left({\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)+\left({\frac {4\pi ^{2}c^{2}}{\lambda _{0}^{2}}}\right)\left({\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)$

$(n^{2}-1)^{-1}=-\left({\frac {2\pi c}{\lambda }}\right)^{2}\left({\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)+\left({\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}\right)^{2}\left({\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\right)$

Como $\left({\frac {2\pi c}{\lambda }}=\omega \right)$ y $\left({\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}=\omega _{0}\right)$

$(n^{2}-1)^{-1}={\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\left[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right]$

${\frac {1}{(n^{2}-1)}}={\frac {\epsilon _{0}m_{e}}{Nq_{e}^{2}}}\left[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right]$

$(n^{2}-1)={\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left[{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right]$

$n^{2}=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left[{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right]$

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

Esta es la ecuación de dispersión

Por lo tanto:

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

se puede reescribir como:

$(n^{2}-1)^{-1}=-C\lambda ^{-2}+C\lambda _{0}^{-2}$

--Enrique Ortiz Martinez

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Problema 3.4

Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación

Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-∂B/∂t

aplicada a las ondas armónicas:

$'''E'''='''E0'''cos(kx-wt)$ y $'''B'''='''B0'''cos(kx-wt)$

lleva a la conclusión de que:

$E0=cB0$

Solusión:

Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:

Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin⁡〖(kx-wt)〗 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂B/∂t=B0w sin⁡〖(kx-wt)〗

Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:

Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin⁡〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin⁡〖(kx-wt)〗

Lo que implica que:

$E0k=B0w$

$E0=k/wB0$

Pero se sabe que $c=k/w$. Entonces

$E0=cB0$

--Fernando Valencia Hernández

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Problema 3.66

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En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:

${n}^{2}=1+\sum _{j}{\frac {{A}_{j}{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}-{\lambda }_{0j}^{2}}}$

Donde la ${A}_{j}$ son términos constantes y cada ${\lambda }_{0j}$ es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ${\nu }_{0j}$ ,tal como ${\lambda }_{0j}{\nu }_{0j}=c$. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde $\lambda >>{\lambda }_{0j}$ la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .

Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de ${n}^{2}$ y expandela otra vez.

Solución:

La ecuacion de Sellmeier dada por:

${n}^{2}=1+\sum _{j}{\frac {{A}_{j}{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}-{\lambda }_{0j}^{2}}}$

donde ${A}_{j}$ es una constante y ${\lambda }_{0j}$ es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ${\nu }_{0j}$

$\therefore$ Consideramos solo el primer termino de la sumatoria

${n}^{2}=1+{\frac {{A}_{1}{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}-{\lambda }_{01}^{2}}}$

${n}^{2}=1+{A}_{1}{\frac {{\lambda }^{2}}{{\lambda }^{2}(1-{\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})}}$

${n}^{2}=1+{A}_{1}{\frac {1}{(1-{\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})}}$

${n}^{2}=1+{A}_{1}{(1-{\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})}^{-1}$

Conocemos la expansión binomial de:

${(1-x)}^{-1}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+......$

$\therefore \quad \quad {n}^{2}=1+{A}_{1}\{1+({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})+{({\frac {{\lambda }_{01}}{{\lambda }^{2}}})}^{2}+{({\frac {{\lambda }_{01}}{{\lambda }^{2}}})}^{3}+.....\}$ donde $x={\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}}$

por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que $\lambda >>{\lambda }_{0j}$ entonces tenemos:

${n}^{2}=1+{A}_{1}[1+({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})]$ despejando a $n$ vemos que:

$n={[1+{A}_{1}(1+({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}}))]}^{\frac {1}{2}}$

$n={[1+{(A}_{1}+{A}_{1}({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}}))]}^{\frac {1}{2}}$................(1)

Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por:

${(1+x)}^{n}=1+{\frac {n}{1!}}x+{\frac {n(n-1)}{2!}}{x}^{2}+.........$ realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:

$n=1+{\frac {1}{2}}[{A}_{1}+{A}_{1}({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})]+{\frac {{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}-1)}{2!}}{[{A}_{1}+{A}_{1}({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})]}^{2}+.........$ desarrollando esta expansión tenemos:

$n=1+{\frac {1}{2}}{A}_{1}+{\frac {1}{2}}{A}_{1}({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})+{\frac {{\frac {1}{2}}(-{\frac {1}{2}})}{2}}{[{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{1}}^{2}({\frac {{\lambda }_{01}^{4}}{{\lambda }^{4}}})+2{A}_{1}({A}_{1}{\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})]}+.........$

$n=1+{\frac {{A}_{1}}{2}}+{\frac {{A}_{1}}{2}}{\lambda }_{01}^{2}({\frac {1}{{\lambda }^{2}}})-{\frac {1}{8}}{{{A}_{1}}^{2}-{\frac {1}{8}}{{A}_{1}}^{2}({\frac {{\lambda }_{01}^{4}}{{\lambda }^{4}}})-{\frac {{{A}_{1}}^{2}}{4}}({\frac {{\lambda }_{01}^{2}}{{\lambda }^{2}}})}+.........$

Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:

$n=(1+{\frac {{A}_{1}}{2}}-{\frac {{{A}_{1}}^{2}}{8}}...........)+{\frac {{A}_{1}}{2}}{\lambda }_{01}^{2}({\frac {1}{{\lambda }^{2}}})-{\frac {1}{4}}{{A}_{1}}^{2}{\lambda }_{01}^{2}({\frac {1}{{\lambda }^{2}}})-{\frac {1}{8}}{{A}_{1}}^{2}{\lambda }_{01}^{4}({\frac {1}{{\lambda }^{4}}})+........$

Ya que ${A}_{1}$ y ${\lambda }_{01}$ son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante

${C}_{1}=1+{\frac {{A}_{1}}{2}}-{\frac {{{A}_{1}}^{2}}{8}}...........$

A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:

${C}_{2}={\frac {{A}_{1}{\lambda }_{01}^{2}}{2}}-{\frac {1}{4}}{{A}_{1}}^{2}{\lambda }_{01}^{2}...........$

Y de igual forma a los de orden superior :

${C}_{3}=-({\frac {1}{8}}{{A}_{1}}^{2}{\lambda }_{01}^{4})...........$

Por lo anterior podemos ver que $n$ lo podemos reescribir como:

$n={C}_{1}+{C}_{2}({\frac {1}{{\lambda }^{2}}})+{C}_{3}({\frac {1}{{\lambda }^{4}}})+......$

$\therefore$ Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.

--Ruben Espinosa Guzmán