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| | ===Ejercicio 3.21=== |
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| | La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo: |
| | : $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$ |
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| | :En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$ |
| | :(a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia. |
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| | : '''''Solución:''''' |
| | :(a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$ |
| | :La velocidad es $v=\omega/k$: |
| | :$v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$ |
| | :$E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$ |
| | :$B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$ |
| | : $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$ |
| | :(b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$ |
| | :$n=1.993$ |
| | :(c) $n=\sqrt{K_E}$ |
| | :$n^2=K_E$ |
| | :$K_E=3.973$ |
| | :$\epsilon=\epsilon_0 K_E$ |
| | :$\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$ |
| | :$\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$ |
| | :(d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$ |
| | :$I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$ |
| | :$I=26.38575\frac{W}{m^2}$ |
| | --[[Usuario:sesebasi|Sergio]] |
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 3.6
El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:
a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
- Solución:
- Analizando en el origen en z=0, tenemos que , , entonces el campo eléctrico es:
- Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en , entonces el campo tiene la forma :
- Notemos que el , implica:
- Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en
- b) Usando la ecuación de onda tenemos:
- Podemos evaluar la expresión para , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:
- Haciendo las derivadas:
- La segunda derivada es:
- Similar, para las segundas parciales con respecto a y , tenemos:
- Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:
- Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:
- Despejando:
- De la expresión anterior factorizamos un , resulta:
- Finalmente la expresión para es:
- (c) La velocidad de fase de la onda será
- Simplificando tenemos:
- --Luis Manuel Chávez antonio
Ejercicio 3.62
Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:
donde
- Solución:
Ecuación de dispersión:
..........(3.70)
La ecuación dada es :
sustituimos el valor en la ecuación dada:
Como y
Esta es la ecuación de dispersión
Por lo tanto:
se puede reescribir como:
--Enrique Ortiz Martinez
Problema 3.4
Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-∂B/∂t
- aplicada a las ondas armónicas:
- y
- lleva a la conclusión de que:
- Solusión:
- Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗
- Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗
- Lo que implica que:
- Pero se sabe que . Entonces
--Fernando Valencia Hernández
Problema 3.66
En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:
Donde la son términos constantes y cada es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ,tal como . Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .
Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de y expandela otra vez.
Solución:
La ecuacion de Sellmeier dada por:
donde es una constante y es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
Consideramos solo el primer termino de la sumatoria
Conocemos la expansión binomial de:
donde
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que entonces tenemos:
despejando a vemos que:
................(1)
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por:
realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:
desarrollando esta expansión tenemos:
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:
Ya que y son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:
Y de igual forma a los de orden superior :
Por lo anterior podemos ver que lo podemos reescribir como:
Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.
--Ruben Espinosa Guzmán
Ejercicio 3.21
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:
- $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$
- En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$
- (a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.
- Solución:
- (a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$
- La velocidad es $v=\omega/k$:
- $v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$
- $E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$
- $B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$
- $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$
- (b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$
- $n=1.993$
- (c) $n=\sqrt{K_E}$
- $n^2=K_E$
- $K_E=3.973$
- $\epsilon=\epsilon_0 K_E$
- $\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$
- $\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$
- (d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$
- $I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$
- $I=26.38575\frac{W}{m^2}$
--Sergio