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| --[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]] | | --[[Usuario:Onáfeder|Fernando Valencia Hernández]] |
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| | == Problema 3.66 == |
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| | '''En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:''' |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math> |
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| | '''Donde la <math>{ A }_{ j }</math> son términos constantes y cada <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> ,tal como <math>{ \lambda }_{ 0j }{ \nu }_{ 0j }=c</math>. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .''' |
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| | '''Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de <math>{ n }^{ 2 }</math> y expandela otra vez. |
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| | '''Solución:''' |
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| | La ecuacion de Sellmeier dada por: |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+\sum _{ j }{ \frac { { A }_{ j }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 0j }^{ 2 } } } </math> |
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| | donde <math>{ A }_{ j }</math> es una constante y <math>{ \lambda } _{ 0j }</math> es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural <math>{ \nu }_{ 0j }</math> |
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| | <math>\therefore </math> Consideramos solo el primer termino de la sumatoria |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }-{ { \lambda } }_{ 01 }^{ 2 } } </math> |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 }(1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) } </math> |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\frac { 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }</math> |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }{ (1-\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ -1 }</math> |
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| | Conocemos la expansión binomial de: |
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| | <math>{ (1-x) }^{ -1 }=1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+......</math> |
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| | <math>\therefore \quad \quad { n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }\{ 1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { \lambda }_{ 01 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }^{ 3 }+.....\} </math> donde <math>x=\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } </math> |
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| | por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que <math>\lambda >>{ \lambda }_{ 0j }</math> entonces tenemos: |
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| | <math>{ n }^{ 2 }=1+{ A }_{ 1 }[1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]</math> despejando a <math>n</math> vemos que: |
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| | <math>n={ [1+{ A }_{ 1 }(1+(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }</math> |
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| | <math>n={ [1+{ (A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ))] }^{ \frac { 1 }{ 2 } } |
| | </math>................(1) |
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| | Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por: |
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| | <math>{ (1+x) }^{ n }=1+\frac { n }{ 1! } x+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+.........</math> realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos: |
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| | <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )]+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { [{ A }_{ 1 }+{ A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }^{ 2 }+.........</math> desarrollando esta expansión tenemos: |
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| | <math>n=1+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } { A }_{ 1 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )+\frac { \frac { 1 }{ 2 } (-\frac { 1 }{ 2 } ) }{ 2 } { [{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )+2{ A }_{ 1 }({ A }_{ 1 }\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } )] }+.........</math> |
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| | <math>n=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } +\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { { A }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }(\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 4 } }{ { \lambda }^{ 4 } } )-\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 4 } (\frac { { \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ { \lambda }^{ 2 } } ) }+.........</math> |
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| | Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior: |
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| | <math>n=(1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........)+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } { \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )-\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+........</math> |
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| | Ya que <math>{ A }_{ 1 }</math> y <math>{ \lambda }_{ 01 }</math> son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante |
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| | <math>{ C }_{ 1 }=1+\frac { { A }_{ 1 } }{ 2 } -\frac { { { A }_{ 1 } }^{ 2 } }{ 8 } ...........</math> |
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| | A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante: |
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| | <math>{ C }_{ 2 }=\frac { { A }_{ 1 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 2 }...........</math> |
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| | Y de igual forma a los de orden superior : |
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| | <math>{ C }_{ 3 }=-(\frac { 1 }{ 8 } { { A }_{ 1 } }^{ 2 }{ \lambda }_{ 01 }^{ 4 })...........</math> |
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| | Por lo anterior podemos ver que <math>n</math> lo podemos reescribir como: |
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| | <math>n={ C }_{ 1 }+{ C }_{ 2 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 2 } } )+{ C }_{ 3 }(\frac { 1 }{ { \lambda }^{ 4 } } )+......</math> |
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| | <math>\therefore </math> Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier. |
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| | --[[Usuario:Ruben Espinosa|Ruben Espinosa Guzmán ]] |
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 3.6
El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:
a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
- Solución:
- Analizando en el origen en z=0, tenemos que , , entonces el campo eléctrico es:
- Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en , entonces el campo tiene la forma :
- Notemos que el , implica:
- Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en
- b) Usando la ecuación de onda tenemos:
- Podemos evaluar la expresión para , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:
- Haciendo las derivadas:
- La segunda derivada es:
- Similar, para las segundas parciales con respecto a y , tenemos:
- Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:
- Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:
- Despejando:
- De la expresión anterior factorizamos un , resulta:
- Finalmente la expresión para es:
- (c) La velocidad de fase de la onda será
- Simplificando tenemos:
- --Luis Manuel Chávez antonio
Ejercicio 3.62
Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:
donde
- Solución:
Ecuación de dispersión:
..........(3.70)
La ecuación dada es :
sustituimos el valor en la ecuación dada:
Como y
Esta es la ecuación de dispersión
Por lo tanto:
se puede reescribir como:
--Enrique Ortiz Martinez
Problema 3.4
Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂E/∂x=-∂B/∂t
- aplicada a las ondas armónicas:
- y
- lleva a la conclusión de que:
- Solusión:
- Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗
Error al representar (error de sintaxis): ∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗
- Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗
- Lo que implica que:
- Pero se sabe que . Entonces
--Fernando Valencia Hernández
Problema 3.66
En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:
Donde la son términos constantes y cada es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ,tal como . Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .
Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de y expandela otra vez.
Solución:
La ecuacion de Sellmeier dada por:
donde es una constante y es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
Consideramos solo el primer termino de la sumatoria
Conocemos la expansión binomial de:
donde
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que entonces tenemos:
despejando a vemos que:
................(1)
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por:
realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:
desarrollando esta expansión tenemos:
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:
Ya que y son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:
Y de igual forma a los de orden superior :
Por lo anterior podemos ver que lo podemos reescribir como:
Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.
--Ruben Espinosa Guzmán