Optica: Capitulo2-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:

Problema 1

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma

--Gael

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Problema 2

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma

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Etcétera.

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Ejercicio 2.32

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Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:

• $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$

Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:

$\psi = f(y \mp vt)$

donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además

$v = \dfrac{\omega}{k}$

Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que

$\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$

de donde concluimos que

* La onda es viajera con dirección de propagación $+y$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$

• $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$

Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.

• $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$

Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello

* La onda es viajera con dirección de propagación $-x$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$

• $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$

Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello

* La onda es viajera con dirección de propagación $+x$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)

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Ejercicio 2.21

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Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

Derive la ecuación (2.34)

$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$

Solución:

Para una onda que se propaga con fase constante:

$\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$

con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$

Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,

$\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.

Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.

Así:

$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$

$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$

Despejando $\pm v$ se obtiene la expersión requerida:

$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$

donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.

--Sergio

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Ejercicio 2.49

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Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.

Solución:

Las siguientes dos ecuaciones:

$\psi (x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$......................(2.64)

$\psi (x,y,z,t)=g(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$......................(2.65)

Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:

$\psi (x,y,z,t)={e}^{ik(\alpha x+\beta y+\gamma z\pm vt)}$........(1)

Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=-\alpha ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=-\beta ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\gamma ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=k^{2}v^{2}\psi$...............(2)

Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ obtenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})\psi$

Por la consideración anterior tenemos entonces que :

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}\psi$.......(3)

De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-k^{2}\psi$..........(4)

Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones

Ruben Espinosa Guzman 21:22 15 oct 2018