Diferencia entre revisiones de «Optica: Capitulo2-problemas»
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Línea 205: | Línea 205: | ||
La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como: | La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como: | ||
<math>\psi (x,y,z,t)=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}</math>..........(1) | <math>\psi (x,y,z,t)=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}</math>..........(1) |
Revisión del 23:16 15 oct 2018
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Problema 2
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
Etcétera.
Ejercicio 2.32
Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:
- $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
- Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
- $\psi = f(y \mp vt)$
- donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
- $v = \dfrac{\omega}{k}$
- Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
- $\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
- de donde concluimos que
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
- $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
- Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
- $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
- Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
- $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
- Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 2.21
Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces
- $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$
- Derive la ecuación (2.34)
- $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- Solución:
Para una onda que se propaga con fase constante:
- $\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$
- con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$
- Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,
- $\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.
- Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.
Así:
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
- Despejando $\pm v$ se obtiene la expersión requerida:
$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.
--Sergio
Ejercicio 2.49
Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.
- Solución:
Las siguientes dos ecuaciones:
......................(2.64)
......................(2.65)
Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:
........(1)
Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:
...............(2)
Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que obtenemos:
\psi</math>
Por la consideración anterior tenemos entonces que :
.......(3)
De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :
..........(4)
Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:
Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones
Ruben Espinosa Guzman 21:22 15 oct 2018
Ejercicio 2.45
Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo está dada por .
- Solución:
El numero complejo z, tiene la siguiente forma: Donde , es la parte real y es la parte imaginaria del numero complejo Se tiene tambien que el complejo conjugado del numero es Restando el complejo conjugado a el numero complejo antes definido se tiene:
Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria , se tiene:
Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:
Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018
Ejercicio 2.48
Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que
y que
- Solución:
La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como:
..........(1)
Si , y son los cosenos de dirección de en las direcciones , y respectivamente, entonces:
así, la ecuación (1) puede expresarse como:
La magnitud del vector de propagación es:
..........(2)
en términos de componentes, magnitud de ,
..........(3)
de la ecuación (2) y (3),
Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018