Optica: Capitulo10-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10

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Ejercicio 10.12

¿Cuál es la irradiancia relativa de los máximos subsidiarios en un patrón de difracción de Fraunhofer de tres rendijas ?

Solución.

La distribución de flujo de irradiancia en el caso de N rendijas está dado por:

$I(\theta )={\frac {I_{0}}{N^{2}}}sinc^{2}(\beta )\left({\frac {\sin(N\alpha )}{\sin(\alpha )}}\right)^{2}$

Donde $\alpha$ & $\beta$ son funciones de $\sin(\theta )$ y $sinc^{2}(\beta )\equiv ({\frac {\sin(\beta )}{\beta }})^{2}$.

Entonces, los máximos subsidiarios ocurren en los siguientes valores aproximados de $\beta$:

$\beta =\pm 1.4303\pi ,\pm 2.4590\pi ,\pm 3.4707\pi ,etc$. Dichos valores de $\beta$ se les suele llamar también picos de la función de distribución de flujo de irradiancia.

Esto con lleva a que los valores que toma $sinc^{2}(\beta )$ son:

$sinc^{2}(\beta _{1})=0.047$

$sinc^{2}(\beta _{2})=0.016$

$sinc^{2}(\beta _{3})=0.008$

$etc$

Por otra parte, los valores máximos subsidiarios en $\alpha$ ocurren en:

$\alpha =\pm {\frac {3\pi }{2N}},\pm {\frac {5\pi }{2N}},...$

Por tanto, se defina la irradiancia relativa como:

${\frac {I(\theta )}{I_{0}}}={\frac {1}{N^{2}}}sinc^{2}(\beta )({\frac {\sin(N\alpha )}{\sin(\alpha )}})^{2}$

Así que para el caso N=3:

${\frac {I(\theta )}{I_{0}}}={\frac {1}{9}}sinc^{2}(\beta )({\frac {\sin(3\alpha )}{\sin(\alpha )}})^{2}$ & $\alpha =\pm {\frac {3\pi }{6}},\pm {\frac {5\pi }{6}},...$

Por lo que, la irradiancia relativa para el primer máximo subsidiario del primer pico ($\alpha ={\frac {3\pi }{6}},\beta _{1}$ )es:

Diego de la Cruz López

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Ejercicio 10.70

Integre la expresión $dS=2\pi \rho ^{2}\sin \varphi d\varphi$ sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:

$A_{l}={\dfrac {\lambda \pi \rho }{\rho +r_{0}}}\left[r_{0}+{\dfrac {(2l-1)\lambda }{4}}\right]$

Solución:

La integral se hace en el intervalo $\varphi \in [0,\varphi ]$, entonces

$A=\int _{0}^{\varphi }2\pi \rho ^{2}\sin \varphi d\varphi =2\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\varphi }\sin \varphi d\varphi =2\pi \rho ^{2}(-\cos \varphi )_{0}^{\varphi }=2\pi \rho ^{2}(1-\cos \varphi )$

Y de la ley de los cosenos para $r^{2}$ sabemos que

$\cos \varphi ={\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}$

además

$r_{l}=r_{0}+{\dfrac {l\lambda }{2}};r_{l-1}=r_{0}+{\dfrac {(l-1)\lambda }{2}}$

Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:

$A=2\pi \rho ^{2}-2\pi \rho ^{2}{\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-r_{l}^{2}}{\rho +r_{0}}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-(r_{0}^{2}+r_{0}l\lambda +l^{2}\lambda ^{2}/4)}{\rho +r_{0}}}$

Obteniendo finalmente la expresión para el área

$A=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {2\rho ^{2}+2\rho r_{0}-r_{0}l\lambda -l^{2}\lambda ^{2}/4}{\rho +r_{0}}}$

Ahora bien, queremos encontrar la expresión para $A_{l}=A-A_{l-1}$, pero el área de la zona $l-1$ es análoga a la de A con la salvedad de que se utiliza $r_{l-1}^{2}$ en lugar de $r_{l}^{2}$.

$A_{l-1}=2\pi \rho ^{2}-2\pi \rho ^{2}{\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l-1}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-r_{l-1}^{2}}{\rho +r_{0}}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-(r_{0}^{2}+\lambda ^{2}(l^{2}+1-2l)/4-r_{0}\lambda (l-1))}{\rho +r_{0}}}$

Que restado de A para obtener $A_l$ da

Error al representar (error de sintaxis): A_l = A - A_{l-1} = \dfrac{\pi \rho}{\rho+r_0}\left[-\dfrac{\lambda^2}{4} + \dfrac{\lambda^2 l}{2} + r_0\lambda\right] = \dfrac{\pi \rho \lambda}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{\lambda}{4}(2l-1)\right]

con lo que se obtiene lo buscado

$A_{l}={\dfrac {\lambda \pi \rho }{\rho +r_{0}}}\left[r_{0}+{\dfrac {(2l-1)\lambda }{4}}\right]$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 00:53 20 nov 2018 (CST)

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Ejercicio 10.52

Una luz con una longitud de onda de 550 nm ilumina una rejilla de difracción con rendijas de $0.60x{10}^{-3}$ cm de separación. ¿En qué ángulo aparecerá el máximo de tercer orden?

Solución:

La distancia "a" de separación de las ranuras en la rejilla que es el elemento de rejilla.

Primero haciendo la conversión a metros:

$a$= $0.60x{10}^{-3}x{10}^{-2}$m

$a$=$0.60x{10}^{-5}$m

La longitud de onda:

$\lambda =550x{10}^{-9}$m

De la ecuación de rejilla tenemos:

$asin{\theta }_{m}=m\lambda$ .....(1)

Para tercer orden ${\theta }_{m}={\theta }_{3}$ y $m=3$

Sustituyendo los valores en (1)

$(0.60x{10}^{-5}m)sin{\theta }_{3}=3(550x{10}^{-9}m)$

$sin{\theta }_{3}={\frac {3(550x{10}^{-9}m)}{(0.60x{10}^{-5}m)}}$

$sin{\theta }_{3}=2750x{10}^{-4}$

Despejando a ${\theta }_{3}$

${\theta }_{3}={sin}^{-1}0.275$

Por lo tanto, el tercer orden máximo aparecerá:

Error al representar (error de sintaxis): 15.96°

Luis Manuel Chávez Antonio

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Ejercicio 10.53

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Una rejilla de difracción produce un espectro de segundo orden de luz amarilla $(\lambda _{0}=550nm)$ a 25°. Determine el espacio entre las lineas en la rejilla.

Solución:

Datos:

Longitud de onda de luz amarilla $(\lambda )=550nm=550\times 10^{-9}m$

Angulo de difracción del espectro de segundo orden en la red de difracción $\theta _{2}=$25°

De la ecuación de la rejilla, tenemos:

$asen\theta _{m}=m\lambda$

$a={\frac {m\lambda }{sen\theta _{m}}}$ ......(1)

Para segundo orden m=2 y $\theta _{m}=\theta _{2}$

Sustituimos estos valores en la ecuación (1) y obtenemos

$a={\frac {m\lambda }{sen\theta _{m}}}$

$a={\frac {(2)(550\times 10^{-9}m)}{sen(25)}}$

$a={\frac {(2)(550\times 10^{-9}m)}{0.422}}$

$a=0.26\times 10^{-5}m$

El espacio (a) entre las lineas de las rejillas es $0.26\times 10^{-5}m$

Enrique Ortiz Martinez

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Ejercicio 10.36

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Verifique la irradiación de pico ${I}_{1}$ del primer "anillo" en el patrón de Airy para difracción de campo lejano en una apertura circular sea tal que ${\frac {{I}_{1}}{{I}_{(0)}}}=0.0175$ .Es posible que desee usar el hecho de que :

${J}_{1}(u)={\frac {u}{2}}\left[1-{\frac {1}{1!2!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{2}+{\frac {1}{2!3!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{4}-{\frac {1}{3!4!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{6}+....\right]$

Solución:

Sabemos que para el primer "anillo" en el patrón de Airy para campo lejano, su máximo ocurre:

$u={\frac {kaq}{r}}$

$u=5.14$

Utilizando la identidad siguiente:

${J}_{1}(u)={\frac {u}{2}}\left[1-{\frac {1}{1!2!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{2}+{\frac {1}{2!3!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{4}-{\frac {1}{3!4!}}{\left({\frac {1}{2}}u\right)}^{6}+....\right]$

podemos sustituir en ella el valor de $u$ dando como resultado lo siguiente :

${J}_{1}(u)={\frac {5.14}{2}}\left[1-{\frac {1}{1!2!}}{\left({\frac {1}{2}}5.14\right)}^{2}+{\frac {1}{2!3!}}{\left({\frac {1}{2}}5.14\right)}^{4}-{\frac {1}{3!4!}}{\left({\frac {1}{2}}5.14\right)}^{6}+....\right]$

Calculando todos los términos de la ecuación anterior tenemos como resultado que:

${J}_{1}(5.14)=-0.33954$

Por otro lado sabemos que la irradiación es dada por:

$I={I}_{(0)}{\left\lfloor {\frac {2{J}_{1}(u)}{u}}\right\rfloor }^{2}$

Entonces, la irradiación para el primer maximo es:

${I}_{1}={I}_{(0)}{\left\lfloor {\frac {2{J}_{1}(5.14)}{5.14}}\right\rfloor }^{2}$

Pero anteriormente ya calculamos el termino de ${J}_{1}(u)$ el cual tiene un valor alrededor de $-0.33954$

Así que el calculo se reduce a lo siguiente:

${I}_{1}={I}_{(0)}{\left\lfloor {\frac {2(-0.33954)}{5.14}}\right\rfloor }^{2}$

Despejando a ${I}_{(0)}$ podemos obtener la difracción de campo lejano en la abertura circular

${\frac {{I}_{1}}{{I}_{(0)}}}=0.0175$

el cual concuerda con el enunciado del problema.

Ruben Espinosa Guzman