Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1
1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1
Demostración
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
Si escribimos en la forma polar
Entonces,
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
=Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi} }</math>==
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma