Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1

1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1

Demostración

$Seaz\in \zeta$ y $n\geq 2$ Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

$z^{n}=1$

Si escribimos en la forma polar

$z^{n}=re^{in\theta }$

Entonces,

$z^{n}=r^{n}e^{in\theta }$

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

$r^{n}=1$ y $(\exists k\in Z)n\theta =2k\pi$

Como $r\geq 0$ es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre $\theta$ es:

$(\exists k\in Z)\theta ={\frac {2k\pi }{n}}$

Obtenemos que todos los complejos de la forma $z=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$ son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos $r\in$ {0,1,...,n-1),$k=r+nl$ con $l\in Z$. Entonces

$e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$=Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi}
}</math>=$e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}*1$=$e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$

Así, todos los posibles valores de $\theta$ dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

$e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}\qquad$ (Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma $z_{k}=z_{0}w^{k}$ Como multiplicar por w es un giro de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$, deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, $z_{0}$, con giros sucesivos de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$ $\therefore$ si representamos todas las raíces n-ésimas de z obtenemos n puntos sobre una circunferencia de centro (0,0) y radio $|z|^{\frac {1}{n}}$ que forman un polígono regular de n lados.

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea ${\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad$$\therefore \qquad y_{0}>0$ Debemos mostrar que hay una bola abierta $B_{1}({\overline {v_{0}}},v)$ contenida en el plano superior.

Sea ${\overline {v_{0}}}=(x_{0},y_{0})\in V$ se tiene entonces que $y_{0}>0$. Elegimos $r=y_{0}$ consideremos la bola abierta B$_{1}({v_{0}},y_{0})$, sea ${\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})$se tiene entonces que $||{\overline {v}}-{\overline {v_{0}}}||<y_{0}$. Es decir $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}$ y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|$=$|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}$

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|$=$|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}$

Esto es una contradicción

$\therefore \qquad$ y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado