Diferencia entre revisiones de «Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1»
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<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi</math>}</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> | <math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi</math>}</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> | ||
Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son | Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son | ||
<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,{}\nonumber\\</math>) | <math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,...,{}\nonumber\\</math>) | ||
Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad. | Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad. | ||
Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''z''' en la forma <math>z_{k}=z_{0}\ | Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''z''' en la forma <math>z_{k}=z_{0}w^k</math> | ||
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math>, con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math> | |||
<math>\therefore</math> si representamos todas las raíces n-ésimas de '''z''' obtenemos '''n''' puntos sobre una circunferencia de '''centro (0,0)''' y '''radio''' <math>|z|^{\frac{1}{n}}</math> que forman un polígono regular de '''n''' lados. | |||
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado | |||
Demostración | |||
Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad</math><math>\therefore\qquad y_{0}>0</math> | |||
Debemos mostrar que hay una bola abierta <math>B_{1}(\overline{v_{0}},v)</math> contenida en el plano superior. | |||
Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V</math> se tiene entonces que <math>y_{0}>0</math>. Elegimos <math>r=y_{0}</math> consideremos la bola abierta B<math>_{1}({v_{0}},y_{0})</math>, sea <math>\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})</math>se tiene entonces que <math>||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}</math>. Es decir <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}</math> y queremos ver que '''y>0''', procederemos por contradicción. | |||
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que | |||
<math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}</math> | |||
Esto es una contradicción. | |||
Supongamos que y<0, entonces | |||
<math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}</math> | |||
Esto es una contradicción | |||
<math>\therefore\qquad</math> y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado |
Revisión actual - 00:41 3 nov 2012
1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1
Demostración
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
Si escribimos en la forma polar
Entonces,
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
=Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi} }</math>==
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, , con giros sucesivos de amplitud si representamos todas las raíces n-ésimas de z obtenemos n puntos sobre una circunferencia de centro (0,0) y radio que forman un polígono regular de n lados.
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces =
Esto es una contradicción
y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado