Diferencia entre revisiones de «Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1»
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Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''z''' en la forma <math>z_{k}=z_{0}w^k</math> | Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''z''' en la forma <math>z_{k}=z_{0}w^k</math> | ||
Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math>, con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math> | Como multiplicar por '''w''' es un giro de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math>, deducimos que las '''n''' raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, <math>z_{0}</math>, con giros sucesivos de amplitud <math>\frac{2\pi}{n}</math> | ||
<math>\therefore</math> si representamos todas las raíces n-ésimas de '''z''' obtenemos '''n''' puntos sobre una circunferencia de '''centro (0,0)''' y '''radio''' <math> | <math>\therefore</math> si representamos todas las raíces n-ésimas de '''z''' obtenemos '''n''' puntos sobre una circunferencia de '''centro (0,0)''' y '''radio''' <math>|z|^{\frac{1}{n}}</math> que forman un polígono regular de '''n''' lados. | ||
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado | 1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado |
Revisión del 00:38 3 nov 2012
1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1
Demostración
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
Si escribimos en la forma polar
Entonces,
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
=Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi} }</math>==
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, , con giros sucesivos de amplitud si representamos todas las raíces n-ésimas de z obtenemos n puntos sobre una circunferencia de centro (0,0) y radio que forman un polígono regular de n lados.
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que =
Esto es una contradicción.
Supongamos que y<0, entonces =
Esto es una contradicción
y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado