Diferencia entre revisiones de «Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1»
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<math>Sea z\in\zeta</math> y <math>n\geq2</math> Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si | |||
<math>z^n=1</math> | |||
\ | Si escribimos en la forma polar | ||
<math> z^n=re^{in\theta} </math> | |||
Entonces, | |||
<math> z^n=r^ne^{in\theta}</math> | |||
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse | |||
<math>r^n=1</math> y <math>(\exists k\in Z)n\theta=2k\pi</math> | |||
''Como <math>r\geq 0</math>'' es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre <math>\theta</math> es: | |||
<math>(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}</math> | |||
Obtenemos que todos los complejos de la forma <math>z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos <math>r\in</math> {0,1,...,n-1),<math>k=r+nl</math> con <math>l\in Z</math>. Entonces | |||
<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math>=<math>e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi</math>}</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1</math>=<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> | |||
Así, todos los posibles valores de <math>\theta</math> dados anteriormente definen sólo '''n''' números complejos distintos: éstos son | |||
<math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad</math> (<math>r=0,1,{}\nonumber\\</math>) | |||
Estos valores son las exactamente '''n''' raíces n-ésimas de la unidad. | |||
Podemos escribir las raíces n-ésimas de '''z''' en la forma <math>z_{k}=z_{0}\rho^k</math> |
Revisión del 21:19 2 nov 2012
1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1
Demostración
y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
Si escribimos en la forma polar
Entonces,
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
y
Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:
Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces
=Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l<math>\pi} }</math>==
Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma