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| ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== | | ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== |
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| | '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>''' |
| | Solucion: |
| | <math> f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 </math> |
| | Entonces: |
| | :Si z=0 |
| | : <math>f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} = |
| | \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 </math> |
| | :Si z \ne 0 |
| | : <math> f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} </math> |
| | ::Si <math> h\in \mathbb{R} </math> tenemos: |
| | ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z </math> |
| | ::Si <math> h=ir \textrm{ con } r>0 </math> entonces: |
| | ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z </math> |
| | :como <math> z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z </math> |
| | : <math> \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 </math> |
| | --[[Usuario:Cesar|Cesar]] ([[Usuario discusión:Cesar|discusión]]) 21:01 27 nov 2012 (CST) |
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| '''2.17. Si <math>f:\Omega \to \mathbb{C}</math> es holomorfa, <math>\Omega</math> una región y <math>u</math> es constante, desmuestre que <math>f</math> es constante. Similarmente, si <math>v</math> es constante, entonces <math>f</math> es constante.''' | | '''2.17. Si <math>f:\Omega \to \mathbb{C}</math> es holomorfa, <math>\Omega</math> una región y <math>u</math> es constante, desmuestre que <math>f</math> es constante. Similarmente, si <math>v</math> es constante, entonces <math>f</math> es constante.''' |
Revisión del 22:01 27 nov 2012
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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