Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.2»
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'''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.''' | '''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.''' | ||
Sea <math>h=x_{0}+iy_{0}< | Sea <math>h=x_{0}+iy_{0}</math> y <math>z=x+iy</math> tenemos que: | ||
<math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}< | <math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}</math> | ||
Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.< | Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.</math> | ||
Se obtiene: | Se obtiene: | ||
<math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}< | <math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}</math> | ||
Reagrupando: | Reagrupando: | ||
<math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.< | <math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.</math> | ||
<math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).< | <math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).</math> | ||
<math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).< | <math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).</math> | ||
<math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} < | <math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} </math> | ||
Eliminando, se obtiene que: | Eliminando, se obtiene que: | ||
<math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})< | <math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})</math> | ||
<math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy < | <math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy </math> | ||
<math\therefore< | <math>\therefore</math> existe su límite y en la recta <math>y=x</math> se tiene que <math>4x^2</math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. | ||
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. | Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. | ||
Esto es que se debe cumplir: | Esto es que se debe cumplir: | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\< | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math> | ||
Sea u=x^2 y v=y^2 | Sea u=x^2 y v=y^2 | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x< | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0< | <math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0</math> | ||
Y | Y | ||
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y< | <math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y</math> | ||
<math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0< | <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0</math> | ||
<math>\therefore< | <math>\therefore</math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas | ||
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'''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' | ||
:Solucion: | :Solucion: | ||
:Sea <math> f(z)=z^ | :Sea <math> f(z)=z^2 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde: | ||
<math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math> | <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math> | ||
:Derivando parcialmente: | :Derivando parcialmente: |
Revisión del 23:48 28 nov 2012
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta , pero no es holomorfa.
Sea y tenemos que:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}}
Desarrollando los binomios, se eliminan los
Se obtiene:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}}
Reagrupando:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.}
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).}
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} } Eliminando, se obtiene que: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})} Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea u=x^2 y v=y^2 Y no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Solucion: Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- Si tenemos:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)