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| <math>\mathcal{F}^'\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.</math> | | <math>\mathcal{F}^'\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.</math> |
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| | '''Inciso 3''' |
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| ''Suponemos una función <math>\mathcal{g}\left(x\right)=\mathcal{F}\left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, como <math>\mathcal{F}\left(x\right)</math> es continua en <math>\left[a,b\right]</math>, aparte la otra función <math>-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, es continua en el intervalo entonces <math>\mathcal{g}\left(x\right)</math> también lo es.'' | | ''Suponemos una función <math>\mathcal{g}\left(x\right)=\mathcal{F}\left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, como <math>\mathcal{F}\left(x\right)</math> es continua en <math>\left[a,b\right]</math>, aparte la otra función <math>-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, es continua en el intervalo entonces <math>\mathcal{g}\left(x\right)</math> también lo es.'' |
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| '''2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si <math>f:(a,b)\to \mathbb{R} </math> es continua e inyectiva y para <math>\xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)</math> existe y no es nula, para la inversa <math>g</math> de <math>f</math> se tiene que <math>g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.''' | | '''2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si <math>f:(a,b)\to \mathbb{R} </math> es continua e inyectiva y para <math>\xi \in (a,b), \mbox{ } f'(\xi)</math> existe y no es nula, para la inversa <math>g</math> de <math>f</math> se tiene que <math>g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.''' |
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| Demostración.<br/> | | Demostración.<br/> |
| Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | | Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> |
| Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),</math> <br/> | | Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x \in (a,b),</math> <br/> |
| donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/> | | donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/> |
| Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/> | | Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/> |
| <math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I</math>.<br/> | | <math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y \in I</math>.<br/> |
| Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/> | | Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/> |
| donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | | donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> |
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| '''Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.'''--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 17:29 27 nov 2012 (CST) | | '''Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.'''--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 17:29 27 nov 2012 (CST) |
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| --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:12 22 nov 2012 (CST) | | ---- |
| | | Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:12 22 nov 2012 (CST) |
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| '''2.8''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región y <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función <math>F:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> tal que <math>F'=f</math>, demuestre que cualquiera dos primitivas de <math>f</math> difieren solo por una constante. | | '''2.8''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región y <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función <math>F:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> tal que <math>F'=f</math>, demuestre que cualquiera dos primitivas de <math>f</math> difieren solo por una constante. |
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| :'''Demostración:'''
| | '''Demostración:''' |
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| Sean <math>F,G:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dos primitivas de <math>f</math>, entonces <math>F'=f</math> & <math>G'=f</math>, luego <math>(F-G)'=F'-G'=0</math>, luego, por la proposición 2.5, <math>F-G=constante</math>, es decir, que las funciones <math>F</math> & <math>G</math> difieren solo por una constante. | | Sean <math>F,G:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dos primitivas de <math>f</math>, entonces <math>F'=f</math> & <math>G'=f</math>, luego <math>(F-G)'=F'-G'=0</math>, luego, por la proposición 2.5, <math>F-G=constante</math>, es decir, que las funciones <math>F</math> & <math>G</math> difieren solo por una constante. |
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| --[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 23:33 27 nov 2012 (CST) | | ---- |
| | Realizado por: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 23:33 27 nov 2012 (CST) |
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Derivadas
2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única
función que satisface las condiciones impuestas.
Por definición tenemos que para todo
Se tienen dos consecuencias inmediatas.
- Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
- Si f es diferenciable en a, existe al menos una función que satisface la diferencia; además si existe
Por lo que existe una que satisfacen las condiciones dadas previamente.
Demostración
Suponemos que y son dos funciones tales que y .
Sea . Entonces
y además
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que por consiguiente
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:49 4 dic 2012 (CST)
2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados un conjunto abierto y funciones, si y diferenciables en , entonces:
(1) es diferenciables en y además .
(2) es diferenciables en y además .
(3) Si , es diferenciables en y además si .
Demostración
De la derivación a la Carathéodory tenemos que .
Inciso 1
(1)
=
Inciso 2
(2)
, pues cuando
Inciso 3
(3) Sea , entonces
como entonces
, luego, del inciso (2) se tiene que
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)
2.5 (Teorema del valor medio) Si con , es continua y además es derivable en , demuestre que existe un , tal que:
Inciso 3
Suponemos una función , como es continua en , aparte la otra función , es continua en el intervalo entonces también lo es.
Obtengamos su derivada:
Es diferenciable en al igual que
Ahora, notemos:
El Teorema de Rolle, nos dice que exite en tal que:
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 01:09 29 nov 2012 (CST)
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si es continua e inyectiva y para existe y no es nula, para la inversa de se tiene que .
Demostración.
Sea .
Como es derivable en , tenemos que
donde es continnua en .
Consideremos que es un intervalo abierto contenido en el dominio de , entonces
.
Por tanto ,
donde es continua en y continua en .
Así que es continua en . Luego es derivable en y
.
Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)
Realizado por: Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)
2.8 Si es una región y es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función tal que , demuestre que cualquiera dos primitivas de difieren solo por una constante.
Demostración:
Sean dos primitivas de , entonces & , luego , luego, por la proposición 2.5, , es decir, que las funciones & difieren solo por una constante.
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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