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| '''1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en <math> \mathbb{S}</math> corresponde a un círculo T en el plano <math> \mathbb{C}</math>. Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en <math> \mathbb{C}</math> es una recta.''' | | '''1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en <math> \mathbb{S}</math> corresponde a un círculo T en el plano <math> \mathbb{C}</math>. Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en <math> \mathbb{C}</math> es una recta.''' |
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| Un círculo en S en <math> \mathbb{S}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma <math>Ax+By+Cz=D</math>.<br/> | | Un círculo en S en <math> \mathbb{S}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma <math>Ax+By+Cz=D</math>.<br/> |
| Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo<br/> | | Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo<br/> |
La esfera de Riemann y el plano extendido
1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en corresponde a un círculo T en el plano . Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en es una recta.
Un círculo en S en es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma .
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo
donde por tanto
Si , tenemos
, i.e., , la ecuación de una recta.
Si , completando cuadrados:
.
.
, la ecuación de un círculo con centro en y radio .
Realizado por: Belen (discusión) 22:51 22 nov 2012 (CST)
1.71.Si ,, demuestre que
.
Sea ,
Por triángulos semejantes y , implica .
Pero y , entonces
y
El plano N_z1z2, intersecta a S en un circulo,.
Vemos que,
los triangulos N_z1z2 y N_Z1Z2, son semejantes, entonces;
Hacemos
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 09:39 28 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1
Compleja:z-ej-cap1.2
Compleja:z-ej-cap1.3