Compleja:z-ej-cap1.3

Funciones de una variable compleja

1.63. Una función $f:\Omega \to \mathbb {C}$ se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (error de sintaxis): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega . Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.

Recordemos que una función $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es uniformemente continua si para todo $\epsilon >0{\mbox{ }}\exists {\mbox{ }}\delta >0{\mbox{ ( que sólo depende de }}\epsilon {\mbox{ ) tal que }}|f(z)-f(w)|<\epsilon$ siempre que $|z-w|<\delta$.

Demostración.
Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega, dado $\epsilon >0{\mbox{ y }}\delta ={\frac {\epsilon }{2L}},$,
tenemos que, si $|z-w|<\delta \Rightarrow |f(z)-f(w)|\leq L|z-w|\leq {\frac {L\epsilon }{2L}}<\epsilon ,$
i.e., $\forall {\mbox{ }}\epsilon >0,{\mbox{ }}\exists {\mbox{ }}\delta ={\frac {\epsilon }{2L}}{\mbox{ tal que }}|f(z)-f(w)|<\epsilon$
siempre que $|z-w|<\delta$. Por tanto $f$ es uniformemente continua.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)

---

1.66. Demuestre que la función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dada por $f(x)=x^{2}$ no es de Lipschitz.

Sean Error al representar (error de sintaxis): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R} .
Tenemos que $|f(x_{1})-f(x_{2})|=|{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}|=|x_{1}+x_{2}|*|x_{1}-x_{2}|$,
pero como $|x_{1}+x_{2}|$ se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que $f(x)=x^{2}$ no es de Lipschitz.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)

---

--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2