Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.3»
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==Funciones de una variable compleja== | |||
'''1.63. Una función <math>f:\Omega \to \mathbb {C} </math> se dice que es Lipschitz si existe una constante <math> L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega </math>. Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.''' | |||
<span style="background:#D8BFD8"> Recordemos que una función <math>f:\Omega \to \mathbb {C} </math> es uniformemente continua si para todo <math> \epsilon>0 \mbox{ }\exists \mbox{ } \delta > 0 \mbox{ ( que sólo depende de } \epsilon \mbox{ ) tal que } |f(z)-f(w)|< \epsilon </math> siempre que <math> |z-w| < \delta </math>.</span> | |||
Demostración.<br/> | |||
Puesto que <math> |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega, </math> dado <math> \epsilon > 0 \mbox{ y } \delta = \frac {\epsilon}{2L}, </math>,<br/> | |||
tenemos que, si <math> |z-w|< \delta \Rightarrow |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \le \frac{L\epsilon}{2L}<\epsilon, </math><br/> | |||
i.e., <math>\forall \mbox{ }\epsilon>0, \mbox{ } \exists \mbox{ } \delta = \frac{\epsilon}{2L} \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| < \epsilon </math><br/> | |||
siempre que <math>|z-w| < \delta </math>. Por tanto <math>f</math> es uniformemente continua. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:50 22 nov 2012 (CST) | |||
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'''1.66. Demuestre que la función <math> f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} </math> dada por <math>f(x)=x^2</math> no es de Lipschitz.''' | |||
Sean <math>x_1, x_2 ∈ \mathbb{R} </math>.<br/> | |||
Tenemos que <math>|f(x_1)-f(x_2)|=|{x_1}^2- {x_2}^2|=|x_1+x_2|*|x_1-x_2| </math>,<br/> | |||
pero como <math>|x_1+x_2|</math> se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que <math> f(x)=x^2</math> no es de Lipschitz. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:50 22 nov 2012 (CST) | |||
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Revisión del 22:50 22 nov 2012
Funciones de una variable compleja
1.63. Una función se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (error de sintaxis): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega . Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.
Recordemos que una función es uniformemente continua si para todo siempre que .
Demostración.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega,
dado ,
tenemos que, si
i.e.,
siempre que . Por tanto es uniformemente continua.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)
1.66. Demuestre que la función dada por no es de Lipschitz.
Sean Error al representar (error de sintaxis): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R}
.
Tenemos que ,
pero como se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que no es de Lipschitz.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)