Compleja:z-ej-cap1.1

La topología del plano complejo

1.19 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) $\Omega$ es abierto si y sólo si $\Omega ^{0}=\Omega$.

(b) $\Omega$ es cerrado si y sólo si $\Omega ^{-}=\Omega$.

(a) Si $\Omega$ es abierto, entonces para cada z ∈ $\Omega$ existe un $\epsilon >0$ tal que $B(x,\epsilon )\subset \Omega$. Vemos que la unión de todas las bolas $B(x,\epsilon )$ es $\Omega$. Además, esta unión es igual al interior de $\Omega$ a saber, $\Omega ^{0}$, puesto que para cualquier subconjunto abierto $A$ de $\Omega$ se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego $\Omega ^{0}=\Omega$.

Por otro lado, si $\Omega ^{0}=\Omega$, entonces $\Omega$ es abierto por que $\Omega ^{0}$ es abierto.

(b) Si $\Omega$ es cerrado, entonces $\bigcap \left\{A:A{\mbox{ es cerrado y }}A\supset \Omega \right\}=\Omega ^{-}=\Omega$, por que $\Omega$ es el superconjunto cerrado más pequeño de $\Omega$.

Por otra parte, si $\Omega ^{-}=\Omega$ entonces $\Omega$ es cerrado debido a que $\Omega ^{-}$ es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)

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1.20 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

(b) $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .

(a)

• P.D. $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$

Sabemos que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Entonces $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega$ y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$, pues el interior de un conjunto ($\Omega ^{0}$) es el mayor abierto contenido en ese conjunto ($\Omega$)

• P.D. $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$.

Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de $\Omega$.

Tenemos entonces que $(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \mathbb {C} -\Omega ^{0}$, de donde $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

• Ya que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$ y $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$, podemos decir que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

(b)

Sabemos que $\Omega ^{-}=[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}$.

Ahora, del inciso anterior, $(\mathbb {C} -\mathrm {X} )^{-}=\mathbb {C} -\mathrm {X} ^{0}$, si $\mathrm {X} \subseteq \mathbb {C}$. Sea $\mathrm {X} =\mathbb {C} -\Omega$,

entonces: $[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

Y así $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

(c)