Compleja:z-ej-cap1.1

La topología del plano complejo

1.19 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) $\Omega$ es abierto si y sólo si $\Omega ^{0}=\Omega$.

(b) $\Omega$ es cerrado si y sólo si $\Omega ^{-}=\Omega$.

(a) Si $\Omega$ es abierto, entonces para cada z ∈ $\Omega$ existe un $\epsilon >0$ tal que $B(x,\epsilon )\subset \Omega$. Vemos que la unión de todas las bolas $B(x,\epsilon )$ es $\Omega$. Además, esta unión es igual al interior de $\Omega$ a saber, $\Omega ^{0}$, puesto que para cualquier subconjunto abierto $A$ de $\Omega$ se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego $\Omega ^{0}=\Omega$.

Por otro lado, si $\Omega ^{0}=\Omega$, entonces $\Omega$ es abierto por que $\Omega ^{0}$ es abierto.

(b) Si $\Omega$ es cerrado, entonces $\bigcap \left\{A:A{\mbox{ es cerrado y }}A\supset \Omega \right\}=\Omega ^{-}=\Omega$, por que $\Omega$ es el superconjunto cerrado más pequeño de $\Omega$.

Por otra parte, si $\Omega ^{-}=\Omega$ entonces $\Omega$ es cerrado debido a que $\Omega ^{-}$ es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)

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