Compleja:z-ej-cap1.1

La topología del plano complejo

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad $\therefore \qquad y_{0}>0$ Debemos mostrar que hay una bola abierta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): B_{1}(\overline{v_{0}},v) contenida en el plano superior.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V se tiene entonces que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y_{0}>0 . Elegimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=y_{0} consideremos la bola abierta B$_{1}({v_{0}},y_{0})$, sea ${\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})$se tiene entonces que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0} . Es decir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0} y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que

$|x-x_{0}|+|y-y_{0}|$=Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |x-x_{0}|+|y-y_{0}|
=$|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}$

Esto es una contradicción

$\therefore \qquad$ y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

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1.19 Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega \subseteq \mathbb{C} . Demuestre que:

(a) $\Omega$ es abierto si y sólo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{0} = \Omega .

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es cerrado si y sólo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{-} = \Omega .

(a) Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es abierto, entonces para cada z ∈ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega existe un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \epsilon > 0 tal que $B(x,\epsilon )\subset \Omega$. Vemos que la unión de todas las bolas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): B (x,\epsilon) es $\Omega$. Además, esta unión es igual al interior de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega a saber, $\Omega ^{0}$, puesto que para cualquier subconjunto abierto $A$ de $\Omega$ se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{0} = \Omega .

Por otro lado, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{0} = \Omega , entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es abierto por que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega ^{0} es abierto.

(b) Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es cerrado, entonces $\bigcap \left\{A:A{\mbox{ es cerrado y }}A\supset \Omega \right\}=\Omega ^{-}=\Omega$, por que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es el superconjunto cerrado más pequeño de $\Omega$.

Por otra parte, si $\Omega ^{-}=\Omega$ entonces $\Omega$ es cerrado debido a que $\Omega ^{-}$ es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)

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1.20 Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega \subseteq \mathbb{C} . Demuestre que:

(a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} .

(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .

(a)

• P.D. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0}

Sabemos que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Entonces $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega$ y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} , pues el interior de un conjunto ($\Omega ^{0}$) es el mayor abierto contenido en ese conjunto ($\Omega$)

• P.D. $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$.

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de $\Omega$.

Tenemos entonces que $(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \mathbb {C} -\Omega ^{0}$, de donde $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

• Ya que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$ y $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$, podemos decir que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

(b)

Sabemos que $\Omega ^{-}=[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}$.

Ahora, del inciso anterior, $(\mathbb {C} -\mathrm {X} )^{-}=\mathbb {C} -\mathrm {X} ^{0}$, si $\mathrm {X} \subseteq \mathbb {C}$. Sea $\mathrm {X} =\mathbb {C} -\Omega$,

entonces: $[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

Y así $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

(c)

Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que $\Omega \subseteq \Omega ^{-}$)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior $\Omega ^{0}$ ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con $\Omega$, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en $\mathbb {C} -\Omega$). El exterior de $\Omega$ es el interior de $\mathbb {C} -\Omega$, o sea el conjunto $(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ y del inciso (b) que $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

De tal forma que $\mathbb {C} -\Omega ^{0}\cap \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}=(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\cap \Omega ^{-}$.

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)

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FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN