Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.1»
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'''1.20 Sea <math> \Omega \subseteq \mathbb{C} </math>. Demuestre que: | |||
(a) <math> \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math>. | |||
(b) <math> \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} </math>. | |||
(c) <math> ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} </math>. | |||
(d) <math> ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math>. | |||
(a) | |||
*P.D. <math> \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} </math> | |||
Sabemos que <math> \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math> | |||
Entonces <math> \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega </math> y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto. | |||
De manera que <math> \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} </math>, pues el interior de un conjunto (<math> \Omega ^{0}</math>) es el mayor abierto contenido en ese conjunto (<math> \Omega </math>) | |||
*P.D. <math> \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math> | |||
Sea <math> x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math>, entonces <math> x ∈ \mathbb{C} - \Omega </math> por que <math> \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math>. | |||
Como <math> x ∈ \mathbb{C} - \Omega </math>, se tiene que <math> x ∉ \Omega </math> y también que <math> x ∉ \Omega ^{0}</math> ya que <math> Omega ^{0} \subseteq \Omega </math>. | |||
Puesto que <math> x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}</math>, es decir, al complemento del interior de <math>\Omega</math>. | |||
Tenemos entonces que <math> ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \mathbb{C} - \Omega ^{0}</math>, de donde <math> \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}</math>. | |||
*Ya que <math> \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} </math> y <math> \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}</math>, podemos decir que <math> \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} </math>. | |||
(b) | |||
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Revisión del 19:56 30 oct 2012
La topología del plano complejo
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea . Demuestre que:
(a) .
(b) .
(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .
(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .
(a)
- P.D.
Sabemos que
Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()
- P.D.
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .
Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .
Tenemos entonces que , de donde .
- Ya que y , podemos decir que .
(b)
(c)