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'''1.19 Sea <math> \Omega \subseteq \mathbb{C} </math>. Demuestre que: | |||
(a) <math> \Omega </math> es abierto si y sólo si <math> \Omega^{0} = \Omega </math>. | |||
(b) <math> \Omega </math> es cerrado si y sólo si <math> \Omega^{-} = \Omega </math>.''' | |||
(a) Si <math> \Omega </math> es abierto, entonces para cada z ∈ <math> \Omega </math> existe un <math> \epsilon > 0 </math> tal que <math> B (x,\epsilon) \subset \Omega </math>. Vemos que la unión de todas las bolas <math> B (x,\epsilon) </math> es <math> \Omega </math>. Además, esta unión es igual al interior de <math> \Omega </math> a saber, <math> \Omega^{0} </math>, puesto que para cualquier subconjunto abierto <math>A</math> de <math> \Omega </math> se tiene que <math> A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. </math> Luego <math> \Omega^{0} = \Omega </math>. | |||
Por otro lado, si <math> \Omega^{0} = \Omega </math>, entonces <math> \Omega </math> es abierto por que <math> \Omega ^{0}</math> es abierto. | |||
(b) Si <math> \Omega </math> es cerrado, entonces <math> \bigcap \left \{ A : A \mbox{ es cerrado y } A \supset \Omega \right \} = \Omega^{-} = \Omega </math>, por que <math> \Omega </math> es el superconjunto cerrado más pequeño de <math> \Omega </math>. | |||
Por otra parte, si <math> \Omega^{-} = \Omega </math> entonces <math> \Omega </math> es cerrado debido a que <math> \Omega^{-} </math> es cerrado por definición. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:11 30 oct 2012 (UTC) | |||
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Revisión del 16:11 30 oct 2012
La topología del plano complejo
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)