Compleja:ej-cap3.4
p.199
mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)
3. Calcule .
Primero haciendo la sustitución y es igual a obtenemos la integral
Simplificando queda o
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de
los cuales son
solo tomamos el polo porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a
hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por
obtenemos
y finalmente por la siguiente definición
la integral es igual a
4.
< math > \int_ 0^{2\pi}\frac {1} {\left (1 - 2 b\text {Cos}[\theta] +
b^2 \r ight)}\,
d\theta < /math > , < math > b > 1 < /math >
al sustituir < math > \text {Cos}[\t heta] = \frac {1} {2}\left (z + \frac {1} {z} \r ight) < /math > y < math > \text {d$\theta $} = \frac {\text {dz}} {i z} < math > < math > \int _C\frac {1} {\left (1 - 2 b\frac {1} {2}\left (z + \frac {1} {z} \r ight) + b^2 \r ight)}\frac {dz} {i z} < /math > Buscasmos los polos de la función < math > \frac {1} {i (1 - z b) (z - b)} < /math > obtenemos que dos polos que son
< math > z =
b < /math > y < math > z = 1/b < /math > como < math > b > 1 < /math > entonces el unico polo que estaria en la región que
nos interesa es < math > z =
1/b < /math > por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de < math > f (z) < /math > para este polo. < math > {\displaystyle lim_ {z\longrightarrow (frac {2\pi} {b})}} \
{\displaystyle\dfrac {z - (frac {2\pi} {b})} {i (1 - b z) (z -
b)}} = (-\frac {i} {-1 + b^2}) < /math >
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