Compleja:ej-cap3.4

2.-Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx

Tomamos la función compleja $f(z)={\frac {z+1}{z^{4}+1}}$ de la cual tomamos las raíces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^4+1\, para determinar los polos.Los cuales estan dados por:

$z_{1}=e^{{\frac {1}{4}}i\pi }\,$, $z_{2}=e^{{\frac {3}{4}}i\pi }\,$, $z_{3}=e^{{\frac {-3}{4}}i\pi }\,$, $z_{4}=e^{{\frac {-1}{4}}i\pi }\,$

por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int}_{c}f(z)=2\pi i[ (f(z),z_1)+ (f(z),z_2)]

para obtener los residuos aplicamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}

Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos

$Res(f(z),e^{{\frac {1}{4}}i\pi })=\lim _{z\to e^{\frac {1}{4}}i\pi }{\frac {(z-e^{{\frac {1}{4}}i\pi })+(z+1)}{4z^{3}}}={\frac {1}{4}}(e^{{\frac {-1}{4}}i\pi }+e^{{\frac {-3}{4}}i\pi })$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})

Aplicando la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x+i\,{\mbox{sen}}\,x$ llegamos al resultado de la integral real.

${\displaystyle \int }_{c}f(z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x+1}{x^{4}+1}}\,dx=2\pi i{\frac {1}{4}}(e^{{\frac {-1}{2}}i\pi }+e^{{\frac {-3}{4}}i\pi }+e^{{\frac {-3}{2}}i\pi }+e^{{\frac {-9}{4}}i\pi })={\frac {\pi {\sqrt {2}}}{2}}$

--Oscar Rodriguez 17:40 9 dic 2010 (UTC)

p.199

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

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3. Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta .

Primero haciendo la sustitución Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right) y

$d\theta ={\frac {dz}{iz}}$ . Dicha sustitución proviene del hecho que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z={{e}^{i\theta }} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta .

Continuando con el problema, obtenemos la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z}

Simplificando queda Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int _c\frac{2}{4i z -z^2+1}dz\text{ }\frac{(-1)}{(-1)}

o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz

Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de ${{z}^{2}}-4iz-1$

los cuales son $z={\overset {+}{-}}{\sqrt {3}}i+2i$

solo tomamos el polo $-{\sqrt {3}}i+2i$

porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.

Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \operatorname{Re}s(f(z),-\sqrt{3}i+2i)=\underset{z\to (-\sqrt{3}i+2i)}{\mathop{\lim }}\,\frac{z-(-\sqrt{3}i+2i)}{{{z}^{2}}-4iz-1}=\left( -\frac{i}{2\sqrt{3}i} \right)

hay que recordar que sacamos un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -2 de la integral por lo que al multiplicar ese $-2$ por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -\frac{i}{2 \sqrt{3}}

obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{2i}{2 \sqrt{3}}

y finalmente por la definición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}

la integral es igual a ${\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}$

4. Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta , $b>1$

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$ , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b>1

al sustituir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)

y $d\theta ={\frac {dz}{iz}}$. La sustitución proviene del hecho que

$Cos(\theta )={\frac {{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}}$ y $z={{e}^{i\theta }}$ y $dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta$.

Continuando con el problema, obtenemos la integral

$\int _{c}{\frac {1}{i(1-zb)(z-b)}}dz$

Buscasmos los polos de la función ${\frac {1}{i(1-zb)(z-b)}}$

obtenemos que los dos polos que son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=b y $z={\frac {1}{b}}$ como

$b>1$

entonces el unico polo que estaría en la región que

nos interesa es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=1/b

por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de

$f(z)$ para este polo.

$\operatorname {Re} s(f(z),{\tfrac {1}{b}})=li{{m}_{z\longrightarrow \left({\frac {1}{b}}\right)}}{\frac {z-\left({\frac {1}{b}}\right)}{i(1-zb)(z-b)}}=\left(-{\frac {i}{-1+{{b}^{2}}}}\right)$

finalmente la integral

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$

es igual a ${\frac {2\pi }{-1+b^{2}}}$

--Pedro Pablo Ramírez Martínez 14:18 9 dic 2010 (UTC)

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