Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap3.4»
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
(No se muestran 4 ediciones intermedias de otro usuario) | |||
Línea 36: | Línea 36: | ||
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que | <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que | ||
<math>sin | <math>\sin \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>, | ||
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. | <math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>. | ||
Continuando con el problema, obtenemos la integral | Continuando con el problema, obtenemos la integral | ||
Línea 48: | Línea 48: | ||
o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math> | o <math>\int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz</math> | ||
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1</math> | Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de <math>{{z}^{2}}-4iz-1\,</math> | ||
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i\,</math> | |||
los cuales son <math> z=\overset{+}{-}\sqrt{3}i+2i</math> | |||
solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math> | solo tomamos el polo <math>-\sqrt{3}i+2i</math> | ||
porque es el único que esta dentro del circulo de radio | porque es el único que esta dentro del circulo de radio uno, el cual es la región sobre la que estamos integrando. | ||
Línea 62: | Línea 61: | ||
hay que recordar que sacamos un | hay que recordar que sacamos un | ||
<math>-2</math> de la integral por lo que al multiplicar ese | <math>-2\,</math> de la integral por lo que al multiplicar ese | ||
<math>-2</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math> | <math>-2\,</math> por <math>-\frac{i}{2 \sqrt{3}}</math> | ||
obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math> | obtenemos <math>\frac{2i}{2 \sqrt{3}}</math> | ||
Línea 77: | Línea 76: | ||
4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math> | 4. Calcule <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math> | ||
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1</math> | <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta </math> , <math>b>1\,</math> | ||
al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> | al sustituir <math>\text{cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> | ||
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que | y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que | ||
<math>cos | <math>\cos \left[ \theta \right]=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y | ||
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. | |||
<math>z={{e}^{i\theta }}\,</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta\,</math>. | |||
Continuando con el problema, obtenemos la integral | Continuando con el problema, obtenemos la integral | ||
Línea 96: | Línea 95: | ||
obtenemos que los dos polos que son | obtenemos que los dos polos que son | ||
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como | <math>z=b\,</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como | ||
<math>b>1</math> | <math>b>1\,</math> | ||
entonces el unico polo que estaría en la región que | entonces el unico polo que estaría en la región que | ||
nos interesa es <math>z=1 | nos interesa es <math>z=\frac{1}{b}</math> | ||
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de | por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de | ||
<math>f(z)</math> | <math>f(z)\,</math> para este polo. | ||
Línea 119: | Línea 117: | ||
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{ | <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> | ||
Línea 127: | Línea 125: | ||
9. Pruebe que <math>2\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta}=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta},b>1</math> | |||
<math>f(-\theta)=\frac{1}{b+\cos(-\theta)}</math> pero el coseno es una función | |||
par por lo que <math>\cos\theta=\cos(-\theta)</math> | |||
asi <math>f(-\theta)=f(\theta)</math> por lo que la función es par. | |||
De los cursos de cálculo se sabe que: | |||
Para integrales de funciones pares de -L a L con periodo 2L | |||
<math>\int_{-L}^{L}f(\theta)d\theta=2\int_{0}^{^{L}}f(\theta)d\theta</math> | |||
La integral <math>2\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta}</math> calcula | |||
el area bajo la curva sobre medio periodo, pero al multiplicar por | |||
2, obtenemos el area total de un periodo entero. | |||
La integral <math>\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta}</math> calcula | |||
el area bajo la curva de un periodo completo. | |||
Por lo tanto <math>2\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta}=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{b+\cos\theta}</math> | |||
--[[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 10:04 14 dic 2010 (UTC) | |||
Revisión actual - 05:04 14 dic 2010
2.-Calcule
Tomamos la función compleja de la cual tomamos las raíces para determinar los polos.Los cuales estan dados por:
, , ,
por tanto,
para obtener los residuos aplicamos
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos
Aplicando la fórmula de Euler llegamos al resultado de la integral real.
--Oscar Rodriguez 17:40 9 dic 2010 (UTC)
p.199
mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)
3. Calcule .
Primero haciendo la sustitución y
. Dicha sustitución proviene del hecho que , y .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Simplificando queda
o
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de los cuales son
solo tomamos el polo
porque es el único que esta dentro del circulo de radio uno, el cual es la región sobre la que estamos integrando.
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a
hay que recordar que sacamos un de la integral por lo que al multiplicar ese por
obtenemos
y finalmente por la definición
la integral es igual a
4. Calcule ,
, al sustituir
y . La sustitución proviene del hecho que
y
y .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Buscasmos los polos de la función
obtenemos que los dos polos que son
y como
entonces el unico polo que estaría en la región que
nos interesa es
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de
para este polo.
finalmente la integral
es igual a
--Pedro Pablo Ramírez Martínez 14:18 9 dic 2010 (UTC)
9. Pruebe que
pero el coseno es una función par por lo que
asi por lo que la función es par.
De los cursos de cálculo se sabe que:
Para integrales de funciones pares de -L a L con periodo 2L
La integral calcula el area bajo la curva sobre medio periodo, pero al multiplicar por 2, obtenemos el area total de un periodo entero.
La integral calcula el area bajo la curva de un periodo completo.
Por lo tanto
--Carlos López Cobá 10:04 14 dic 2010 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4
Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5
Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4