Compleja:ej-cap1.1.4

SECCION 1.1.4

1. Demuestre que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\ \end{align}

Se conoce como igualdad de Lagrange

Solución.

Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-1 se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n esta en el conjunto.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}

Supongamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-1 esta en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \eth , es decir,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2} \qquad (i)\\ \end{align}

Tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (ii)\\ \end{align}

(recordemos algunas expresiones que no serán de utilidad en adelante ♠Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |Z_k-a\overline{W_k}|^2 = (Z_k-u\overline{W_k})(\overline{Z_k}-\overline{u}W_k) ;

♣Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{k=1}^n |Z_{k}|^2 = \sum_{k=1}^{n-1} |Z_{k}|^2 + |Z_{n}|^2 en esta expresión se toma la suma de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-1 terminos y adicionar el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-ésimo para tener el lado izquierdo de la expresión)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (iii)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (iv)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (v)\\ \end{align}

(En la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): iii se utilizó ♣ para posteriormente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): iv hacer un poco de algebra y llegar a la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v .)

Necesitamos saber si alguno de los elementos de la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v tiene parecido con algo conocido ó si se anulan entre si, es por eso que se desarrolla el 3er termino de la misma. Donde nuevamente se utiliza la idea de la expresión ♣ .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2 \qquad (vi)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2 \qquad (vii)\\ \end{align}

Al comparar las expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): vi con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): vii se observa que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (viii)\\ \end{align}

(Observese bien que el segundo termino de lado derecho de la expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): viii son los Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-esimos términos.)

Entonces si ahora utilizamos las expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): viii , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i podemos re-escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \aleph de la manera siguiente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (ix)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (x)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xi)\\ \end{align}

(En las expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ix ,x se utilizo ♠ y ♣ mas un poco de álgebra)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xii)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xiii)\\ \end{align}

(En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): xii, xiii recordamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{W_n}W_n = |Wn|^2 , agrupamos términos y claro mas álgebra)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 \qquad (xiv)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 \qquad (xv)\\ \end{align}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 \qquad (xvi)\\ \end{align}

por lo tanto si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n-1 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \in Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \eth Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Longrightarrow Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\in Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \eth .

--Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)

2.- Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{1},z_{2},...,z_{n}\, numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\, ?

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\, , entonces

$|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|=n|z_{1}|\,$

por otro lado

$|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|=|nz_{1}|=n|z_{1}|\,$

y por lo tanto

$|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|=|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,$

--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)

2.- Sean $z_{1},z_{2},...,z_{n}\,$ numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que $|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|=|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,$ ?

Vemos que esto es realmente una igualdad cuando los puntos $z_{1}+z_{2}+...+z_{n}$ son colineales.

Por demostrar que

$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$

Para realizar esta demostración definiremos nuestros numeros en forma polar

$z{}_{1}=r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]$

$z{}_{2}=r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]$

Ahora sustuyendo esto en nuestra igualdad tenemos que:

$\left|r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]+r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right|=\left|r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right|$

Tamando la norma al cuadrado

$\left|r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]+r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right|^{2}=\left(\left|r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right|\right)^{2}$

Desarrollando temenos que

$\left(r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]+r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right)\left(r_{1}\exp \left[-i\theta _{1}\right]+r_{2}\exp \left[-i\theta _{2}\right]\right)=\left(\left|r_{1}\exp \left[i\theta _{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp \left[i\theta _{2}\right]\right|\right)^{2}$

$r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta _{1}-\theta _{2}\right]+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta _{2}-\theta _{1}\right]+r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}$

Simplificando un poco y factorizando $r_{1}r_{2}$ del lado izquierdo llegamos a lo siguiente

$r_{1}r_{2}\left(\exp i\left[\theta _{1}-\theta _{2}\right]+\exp i\left[\theta _{2}-\theta _{1}\right]\right)=2r_{1}r_{2}$

$\exp i\left[\theta _{1}-\theta _{2}\right]+\exp i\left[\theta _{2}-\theta _{1}\right]=2$

Escribiendo estas exponenciales en terminos de senos y cosenos

$\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+i\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\cos \left(\theta _{2}-\theta _{1}\right)+i\sin \left(\theta _{2}-\theta _{1}\right)=2$

Ya que la función $\sin$ es impar

$2\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)=2$

$\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)=1$

Despejando $\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)$

$\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)=\arccos \left(1\right)$

Entonces

$\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)=k2\pi$ para $k=0,1,2,...$

$\therefore \theta _{1}=\theta _{2}+k2\pi$

Esto nos dice que esta igualdad solo se cumple cuando nuestros vectores son colineales, es decir son linealmente dependientes o uno de ellos es cero. Generalizando esto para n, suponemos que se cumple para n-1

$\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right)+z_{n}\right|^{2}=\left(\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right|+\left|z_{n}\right|\right)^{2}$

Donde nuestros primeros n-1 terminos lo redefinimos como $w_{1}$ y el n-esimo como $w_{2}$

$\left|w_{1}+w_{2}\right|^{2}=\left(\left|w_{1}\right|+\left|w_{2}\right|\right)^{2}$

Y utlizamos el mismo razonamiento

Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.

Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese. Demostracion grafica

--Oscar Adrian 03:41 16 oct 2009 (UTC) --Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)

3. Encuentre el ínfimo de $\left|z^{3}+2i\right|$ en la región $\left\{z\mid |z|\geq 2\right\}$ , y describa en qué puntos se alcanza.

Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que

\left|z^{3}+i\right|\geq \left||z|^{3}-1\right|\geq 8-1.

Por tanto,

7\leq \left|z^{3}+i\right|.\qquad (1)

Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.

Por otro lado, tenemos que, si $z=r\left(cos\theta +1\sin \theta \right)$

{\begin{aligned}\left|z^{3}+i\right|^{2}&=\left|r^{3}\left(\cos 3\theta +i\sin 3\theta \right)+1\right|^{2}\\&=\left|r^{3}\cos 3\theta +1+ir^{3}\sin 3\theta \right|^{2}\\&=r^{6}+2r^{3}\cos 3\theta +1.\\\end{aligned}}

Si tomamos la cota inferior, $\left|z\right|=2$ , la expresión anterior es entonces:

{\begin{aligned}\left|z^{3}+i\right|^{2}&=r^{6}+2r^{3}\cos 3\theta +1\\&=65+2r^{3}\cos 3\theta .\\\end{aligned}}

Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una $\theta$ tal que $\cos 3\theta {=}-1$ . Para este caso, tenemos dos valores: $\theta _{1}{=}{\frac {\pi }{3}}$ y $\theta _{2}{=}\pi$ ,

de tal forma que, con estos valores,

\left|z^{3}+i\right|^{2}=65-16=49.

Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en $z_{1}$ y $z_{2}$ tales que

{\begin{aligned}z_{1}&=2\left(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right)\\&=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\z_{1}&=1+i{\sqrt {3}},\qquad (2)\\\end{aligned}}

y

{\begin{aligned}z_{2}&=2\left(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right)\\&=2\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)\\z_{2}&=-2.\qquad (3)\\\end{aligned}}

Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores $z_{3}$ y $z_{4}$ tales que

{\begin{aligned}z_{3}&=2\left(\cos \theta _{1}+\pi +i\sin \theta _{1}+\pi \right)\\&=2\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)\\&=2\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\&=-1-i{\sqrt {3}}\\z_{3}&=-z_{1},\qquad (4)\\\end{aligned}}

y

{\begin{aligned}z_{4}&=2\left(\cos \theta _{2}+\pi +i\sin \theta _{2}+\pi \right)\\&=2\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)\\&=2\\z_{4}&=-z_{2}.\qquad (5)\\\end{aligned}}

Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, $\pm (1+i{\sqrt {3}})$ y $\pm 2$ .

--Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)

4. Describir la ecuación de la hipérbola en lenguaje de números complejos.(Este ejercicio no forma parte de los EJERCICICIOS 1.1.4 de CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA, a sido agregado a está sección porque este tema forma parte de ella

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$ , en el plano $ReIm\,$ ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias $|z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,$ , a dos puntos fijos llamados focos $w_{1}\,$ y $w_{2}\,$ , es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. (vease fig. 1.1).