Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean $$z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad$$ con $$\quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}$$

Por demostrar $$(zw)s = z(ws)\,$$

$$(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,$$

$$=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$$

Por otra parte

$$z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,$$

$$=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$$

Entonces se cumple $$(zw)s = z(ws)\,$$.

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

SECCION 1.1.2

1. Demuestre que $$\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}$$

Sean $$z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,$$

$$\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right|$$

$$=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 }$$

$$=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 } = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] } = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}$$

Por otra parte

$$\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|$$

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)

2. Exprese $$\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}$$de la forma $$x+iy$$

Por las propiedades $$\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}$$ , $$\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$$

$$\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}$$

Simplificando, se obtiene$\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}$

Resolviendo la división de números complejos, de la forma$\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}$$\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}$

=$$-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i$$.

--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)

3. Demuestre que $$\alpha$$ es raiz de un polinomio real si y solo si $$\overline{\alpha}$$ lo es.

Sea $$\overline{\alpha}$$ solucion de un polinomio real,

entonces $$\overline{\alpha} \in \mathbb{R}$$

como $$\overline{\alpha} = \alpha$$, por lo tanto $$\alpha$$ tambien es solucion.

--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)

5. Sean $$z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}$$ tales que cumplen $$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Figura 1

Tenemos que

$$\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)$$

y, por lo tanto,

$$\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)$$

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

$$\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ |z_2 - z_3| = C\\ \end{matrix} \right \} \qquad (3)$$

De (2) y (3) tenemos que:

$$\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)$$

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo $$\beta$$ es igual al ángulo $$\gamma$$ y éste a su vez al ángulo $$\alpha$$, es decir,

$$\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)$$

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)

6. Sea {\begin{align}z & = x+iy \end{align}}, pruebe que $${\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}$$

Puesto que el número complejo z puede escribirse como

{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}

{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}

Se deduce que

$${\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}$$

$${\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}$$

$${{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}$$

Entonces

$${[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}$$

O sea

$${{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}$$

O de otra manera

$$[[:Plantilla:\left]]$$

Veamos la demostracion

$$\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow$$ $$\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow$$ $$\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta$$..............#

Si $${\displaystyle \sin n\theta=0}$$ la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a

$${\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\cos\theta+}\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\cos\frac{\theta}{2}$$.

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

$${\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}$$.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)