Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

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'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
 
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
  
Por pitágoras a ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2
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Por pitágoras <math>a ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2</math>
  
 
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Revisión del 12:38 3 oct 2009

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean \( z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad \) con \( \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}\)


Por demostrar \( (zw)s = z(ws)\,\)


\((zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,\)


\(=[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, \)


Por otra parte

\(z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,\)


\(=[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,\)


Entonces se cumple \( (zw)s = z(ws)\,\).


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


1.1.2

1. Demuestre que \(\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}\)

Sean \( z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,\)


\(\left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right| \)


\(=\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 } \)


\(=\frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 } = \sqrt{\Bigg [\frac{a^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] + \Bigg [\frac{b^2 (c^2 + d^2)}{(c^2 + d^2)^2}\Bigg ] } = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} \)


Por otra parte


\(\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|\)

--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese \(\overline{\left(\frac{\left(2+3i\right)^2}{4+i}\right)}\)de la forma \(x+iy\)


Por las propiedades \(\overline{\left ( \frac{z}{w} \right )}=\frac\bar{z}\bar{w}\) , \(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\)


\(\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)^2}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\overline{\left ({2+3i}\right)}\overline{\left ({2+3i}\right)}}{\overline{\left({4+i}\right)}}=\frac{\left(2-3i\right)\left(2-3i\right)}{\left(4-i\right)}\)


Simplificando, se obtiene\[\frac{4-6i-6i-9}{4-i}=\frac{-5-12i}{4-i}\]


Resolviendo la división de números complejos, de la forma\[\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}\]\[\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}\]


=\(-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i\).


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que \(\alpha\) es raiz de un polinomio real si y solo si \(\overline{\alpha}\) lo es.


Sea \(\overline{\alpha}\) solucion de un polinomio real,

entonces \(\overline{\alpha} \in \mathbb{R}\)

como \(\overline{\alpha} = \alpha\), por lo tanto \(\alpha\) tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean \(z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}\) tales que cumplen \(\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}\), demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Figura 1

Tenemos que

\(\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)\)

y, por lo tanto,

\(\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)\)

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

\(\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ |z_2 - z_3| = C\\ \end{matrix} \right \} \qquad (3)\)

De (2) y (3) tenemos que:

\(\frac{A}{B} = \frac{B}{C}. \qquad (4)\)

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo \(\beta\) es igual al ángulo \(\gamma\) y éste a su vez al ángulo \(\alpha\), es decir,

\(\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)\)

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea \({\begin{align}z & = x+iy \end{align}}\), pruebe que \({\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}\)


Puesto que el número complejo z puede escribirse como

\({\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}\)

\({\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}\)


Se deduce que

\({\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}\)

\({\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}\)


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo

\({{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}\)


Entonces

\({[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}\)

O sea

\({{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}\)

O de otra manera

\([[:Plantilla:\left]] + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)\] \(=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)\)


\(=\pm\left(2+i\right)\)


y para \(1+2i\), son\[=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)\]


\(=\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)\)


\(=\pm\left(1.27 + i 0.78\right).\)


--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)


2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i


Sea \( z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi) = 64 cos\pi\,\)


Por la formula de De Moivre


\(z^{1/6} = 64^{1/6}(cos\pi)^{1/6} = 2 cos(\frac{\pi+2k\pi}{6})\) para k = 0,1,2,3,4,5


Evaluando k se obtiene


\(w_{0} = 2cos(\frac{\pi}{6})\) con k = 0

\(w_{1} = 2cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) = 2cos(\frac{\pi}{2})\) con k = 1

\(w_{2} = 2cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) = 2cos(\frac{5\pi}{6})\) con k = 2

\(w_{3} = 2cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) = 2cos(\frac{7\pi}{6})\) con k = 3

\(w_{4} = 2cos(\frac{\pi+8\pi}{6}) = 2cos(\frac{3\pi}{2})\) con k = 4

\(w_{5} = 2cos(\frac{\pi+10\pi}{6}) = 2cos(\frac{11\pi}{6})\) con k = 5


--Luis Nava 18:25 3 oct 2009 (UTC)



3. Demuestre que \(1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}=0\) donde z es una raíz n-ésima de la unidad, \(z\neq 1\)


Sea \( S=1+Z+Z^2+...+Z^{n-1}\)

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

\( ZS=Z+Z^2+Z^3+...+Z^{n-1}+Z^n\)

Restando la segunda ecuación de la primera

\({(s=1+z+z^2+...+z^{n-1})-(zs=z+^2+z^3+...+z^{n-1}+z^n)}\)

Tenemos que

\({s-zs=1-z^n}\to {s(1-z)=1-z^n}\)

De donde

\(s=\frac{1-z^n}{1-z}\)

Como z es una raíz enesima de la unidad

\(0=\frac{1-z^n}{1-z}\)

\(\to{1-z^n=0} \)

\(\to{z^n=1} \)

Entonces

\(\to{z^n=1} \)

y

\({1-z}\ne{0}\)

porque

\( {z}\ne{1} \)


Por lo tanto

\( {s=0} \)




--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)


1.1.4

--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)