Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1»

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== 1.1.2 ==
== '''SECCIÓN 1.1.2''' ==
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>'''


Línea 54: Línea 55:
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>
<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math>


--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC)


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Contribución de:[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC)
 
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Línea 103: Línea 103:




--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC)
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen <math>\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math>, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.'''


[[Image: Comp_triang_eq2.jpg|frame|center|Figura 1]]
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Triangulo.svg|600px|thumb|center|Figura 1]]


Tenemos que  
Tenemos que  


<center><math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math></center>
$<math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math>


y, por lo tanto,  
y, por lo tanto,  


<center><math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math></center>
<math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math>
   
   
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:


<center><math>\left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\
<center><math>  
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\
|z_2 - z_1| = A,\qquad
|z_2 - z_3| = C\\
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad
\end{matrix} \right \} \qquad (3)</math></center>
|z_2 - z_3| = C
  \qquad (3)</math></center>


De (2) y (3) tenemos que:
De (2) y (3) tenemos que:
Línea 136: Línea 138:
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.


--[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)
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Contribución de:[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC)


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'''6. Sea <math>{\begin{align}z & = x+iy \end{align}}</math>,  pruebe que
'''6. Sea <math>{z = x+iy }</math>,  pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}</math>
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>




Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Puesto que el número complejo z puede escribirse como


<math>{\begin{align}z & = Re(z)+iIm(z) \end{align}}</math>
<math>{z = Re(z)+iIm(z) }</math>


<math>{\begin{align}\left|{z}\right| & = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} \end{align}}</math>
<math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math>




Línea 183: Línea 185:
Como  
Como  


<math>{\begin{align}\left|{z}\right|^2 & = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 \end{align}}</math>
<math>{\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math>


Entonces
Entonces
Línea 202: Línea 204:
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math>


--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)
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Contribución de: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC)


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'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
'''6-bis. Sea <math>{z  = x+iy }</math>,  pruebe que
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math>
Tenemos que <math>{z  = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que
 
 
<math>{\left|{z}\right|  = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math>
 
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
 
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math>
 
 
Tambien es inmediato que para z <math>\in  \mathbb{R}</math>,  <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
 
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math>
 
Desarrollando el binomio se tiene que
 
 
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math>
 
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
 
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
 
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior
 
 
 
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math>
 
 
Es facil ver que
 


Recordando Pitágoras c^2 = a^2 + b^2 (para magnitudes reales)
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math>
'''
[[Imagen:demo.jpg]]




Tomamos dos numeros complejos
Utilizando este resultado se deduce que


'''a = b + ic'''
'''d = e + if'''


Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores '''"a"''' y '''"d".'''
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math>


'''|a|''' = <math>\sqrt{ b^2+c^2}</math> que corresponde a la norma de "a".
'''|d|''' = <math>\sqrt{ e^2+f^2}</math> que corresponde a la norma de "d".


si |a|^2 = b^2 + c^2    y      |d|^2 = e^2 + f^2
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado




Ahora definimos la diagonal como |h| con componentes |a| y|d| obtenemos la magnitud de |h| y tenemos
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math>


|h|= <math>\sqrt{|a|^2+|d|^2}</math>


reacomodando.
Que es lo que se queria mostrar.


|h|^2 = |a|^2 + |d|^2  lo que queriamos demostrar.


Por lo tanto tenemos que en un paralelogramo que la suma de los cuadrados de las diagonales son la suma de los cuadrados de los lados.
----
Con lo anterior hemos concluido nuestra demostración.
Contribución de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC)
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--[[Usuario:Karla|Karla]] 02:17 29 sep 2009 (UTC)Sanchez
'''REVISADO'''


'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.


[[Archivo:Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg|850px|center]]


Sacamos las normas de los números complejos


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math>


[[categoría:Compleja]]
Por algebra de vectores
[[categoría:Cursos]]
 
<math>|z|+|w|=|h|</math>
 
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
 
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math>
 
De la misma forma  el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes  de los  vectores
 
|w| y |z| y por tanto también tendremos  |z|+|w| =|h|
 
Entonces si  |z|+|w| = |h|


== 1.1.3 ==
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''


d = cateto


Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
f = cateto


<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>  si <math>\quad b>0</math>
<math>e^2=d^2+f^2</math>  


entonces tenemos que


Por lo tanto las raices de <math>3+4i</math>, son:
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math>
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math>


Aplicamos pitagoras


<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)</math>
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math>


Por tanto


<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{8}{2}} + i\sqrt{1}\right)</math>
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math>     se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


----
Contribución de:[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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<math>=\pm\left(2+i\right)</math>
[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.2]]
[[Compleja:ej-cap1.3]]
[[Compleja:ej-cap1.4]]


== 1.1.4 ==
[[Compleja:ej-cap2.1]]
[[Compleja:ej-cap2.2]]
[[Compleja:ej-cap2.3]]
[[Compleja:ej-cap2.4]]
[[Compleja:ej-cap2.5]]


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 21:27 25 sep 2009 (UTC)
[[Compleja:ej-cap3.1]]
[[Compleja:ej-cap3.2]]
[[Compleja:ej-cap3.3]]
[[Compleja:ej-cap3.4]]


[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Cursos]]

Revisión actual - 04:45 3 nov 2023

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



SECCIÓN 1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte



Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.



Contribución de:Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)



3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.



Contribución de: Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)


5. Sean tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.


Figura 1

Tenemos que

$

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.


Contribución de:Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto


Contribución de: Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


6-bis. Sea , pruebe que

Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que



Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que

Desarrollando el binomio se tiene que


Y por la identidad (1) esto se puede escribir como

Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente



Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior



Es facil ver que



Utilizando este resultado se deduce que



Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado



Que es lo que se queria mostrar.



Contribución de: Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)


REVISADO

7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg

Sacamos las normas de los números complejos

|z|= |w|=

Por algebra de vectores

Donde |h| es la resultante de |z|+|w|

+

De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores

|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|

Entonces si |z|+|w| = |h|

Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice

d = cateto

f = cateto

entonces tenemos que

Aplicamos pitagoras

Por tanto

se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.


Contribución de:Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5

Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4