Compleja:Zill-Cap1.6
Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 6 "Aplicaciones" del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 1.6
Ejercicio 1
1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general
$z^{2}+iz-2=0$
Procedimiento
Usando la fórmula general se tiene que:
$a=1$
$b=i$
$c=-2$
Entonces :
$z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$
$z_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$
$z_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$
Son soluciones de z.
Ahora, factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$
Queda como:
$\left (z-(\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )\left (z-(\frac{-i}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )$
Solución
Por lo que factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$ se tiene que:
$z^{2}+iz-2=(z+\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})(z-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})=0$
Elaborado por: --Francisco Medina Albino (discusión) 19:43 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.
$iz^{2}-z+i=0$
Procedimiento
Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$
Entonces por la fórmula general obtenemos
$z=\frac{-b+(b^{2}-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$
Se tiene que:
$z=\frac{1+(-1^{2}-4i\cdot i)^{\frac{1}{2}}}{2i}$
$z=\frac{1+(1+4)^{1/2}}{2i}=\frac{1+(5)^{1/2}}{2i}$
Dado que 5 es un numero real, las raices son reales, por lo que se tiene
$z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2i}$
$z_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2i}$
Para quitar la unidad imaginaria, del denominador, basta por multiplicar arriba y abajo por i.
$z_1=\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2}$
$z_2=\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}$
Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$
Por lo tanto la factorización queda como:
Solución
$i\left [ (z-\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2})(z-\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}) \right ]=0$
A. Martín R. Rabelo*** (discusión)*** 15:05 15 mayo 2015 (CDT) *** Corregido
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general
$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=0$
Procedimiento
$z=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Utilizando la ecuación de la formula general, se obtiene:
$a=1$ ; $b=-1-i$ ; $c=6-17i$
$z=\frac{(1+i)+\left [ (-1-i)^{2}-4(1)(6-17i) \right ]^{1/2}}{2}=\frac{(1+i)(-24+70i)^{1/2}}{2} $
Para calcular: $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$
Se puede usar que
$\left (p+iq \right )^{2}=-24+70i$
por lo que
$p^{2}-q^{2}+2pqi=-24+70i$
Igualando las partes reales e imaginarias se tiene que:
$p^{2}-q^{2}=-24$ y$2pq=70$
Por lo que de la segunda ecuación; se tiene que $q=\frac{35}{p}$
Poniendo esto en la primera ecuación se tiene que:
$p^{4}+24p^{2}-1225=0$
Solucionando esto,usando igualmente la formula general, se tiene que:
$p^{2}=\frac{-24+ \sqrt{5476}}{2}=\frac{-24+ 74}{2}=25$
Por lo que $p=\pm5$
Entonces las raíces de $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$
Son:
$w_1=5+7i$ y $w_2=-5-7i$
Por lo que las soluciones a la ecuacion son:
$z_1=3+4i$ y $z_2=-2-3i$
Solución
Factorizando el polinomio se tiene que:
$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=(z-3-4i)(z+2+3i)$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 23:35 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Exprese $\left(3-i\right)^{2}$ en la forma exponencial $z=re{}^{i\theta}$. Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: \[ 3-i=|3-i|e{}^{i Arg\left(3-i\right)} \] Donde: \[ |3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad Arg\left(3-i\right)=-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \] Por lo tanto: \[ 3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} \] Y: \[ \left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} \] --Tlacaelel Cruz (discusión) 20:55 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
In Problems 13\textendash 16, find solutions of the given homogeneous differential equation.
traduccion
En los problemas 13-16 , encontrar soluciones de la ecuación diferencial homogénea dado.
ejercicio 15
\[ 15.y"+y\text{\textasciiacute}+y=0 \]
el polinomio caracteristico que lecorresponde es:
\[ m^{2}+m+1=0 \]
Con la fórmula general obtenemos las raices
\[ m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \]
donde a=1 b=1 c=1
\[ m_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]
\[
m_{1}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i
\]
tenemos dos raices complejas y conjugadas de la forma
\[ z=a+-bi \]
cuando tenemos raices de esta forma se propone una solucion a la ecuacion
diferncial de la forma
\[ y(t)=e^{at}(c1cos\left(bt\right)\text{\textpm}c2sin\left(bt\right)) \]
quedando nuestra solucion de la manera siguiente
\[ y(t)=e^{-\frac{1}{2}t}(c1cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+-c2sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)) \]
--Martin Flores Molina (discusión) 16:55 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Resolver la ecuación diferencial:
$y-4y'+13y=0$
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
$m^2-4m+13=0$
Con la fórmula general obtenemos las raices
$m = \dfrac{4\pm \sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$
$m=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$
Por lo que los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son:
$\alpha=2$, $\beta=3$
La solución general de la ecuación diferencial es:
$y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 15:21 15 mayo 2015 (CDT)
ejercicio 21
Resolver y encontrar las raices por el metodo de la formula general
$4z^{2}+12z+34=0$ , $z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$
sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
donde $a=4$ , $b=12$ y $c=24$
sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$
Lo cual cumples la solución antes dicha Resuleto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:50 19 mayo 2015 (CDT)
