Compleja:Zill-Cap1.6

Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 6 "Aplicaciones" del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan. ***

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Sección 1.6

Ejercicio 1

1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general

$z^{2}+iz-2=0$

Procedimiento

Usando la fórmula general se tiene que:

$a=1$

$b=i$

$c=-2$

Entonces :

$z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$

$z_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$

$z_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$

Son soluciones de z.

Ahora, factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$

Queda como:

$\left (z-(\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )\left (z-(\frac{-i}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )$

Solución

Por lo que factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$ se tiene que:

$z^{2}+iz-2=(z+\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})(z-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})=0$

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Elaborado por: --Francisco Medina Albino (discusión) 19:43 14 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.

$iz^{2}-z+i=0$

Procedimiento

Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$

Entonces por la fórmula general obtenemos

$z=\frac{-b+(b^{2}-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$

Se tiene que:

$z=\frac{1+(-1^{2}-4i\cdot i)^{\frac{1}{2}}}{2i}$

$z=\frac{1+(1+4)^{1/2}}{2i}=\frac{1+(5)^{1/2}}{2i}$

Dado que 5 es un numero real, las raices son reales, por lo que se tiene

$z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2i}$

$z_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2i}$

Para quitar la unidad imaginaria, del denominador, basta por multiplicar arriba y abajo por i.

$z_1=\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2}$

$z_2=\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}$

Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$

Por lo tanto la factorización queda como:

Solución

$i\left [ (z-\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2})(z-\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}) \right ]=0$

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A. Martín R. Rabelo*** (discusión)*** 15:05 15 mayo 2015 (CDT) *** Corregido

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Ejercicio 3

Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general

$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=0$

Procedimiento

$z=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Utilizando la ecuación de la formula general, se obtiene:

$a=1$ ; $b=-1-i$ ; $c=6-17i$

$z=\frac{(1+i)+\left [ (-1-i)^{2}-4(1)(6-17i) \right ]^{1/2}}{2}=\frac{(1+i)(-24+70i)^{1/2}}{2} $

Para calcular: $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$

Se puede usar que

$\left (p+iq \right )^{2}=-24+70i$

por lo que

$p^{2}-q^{2}+2pqi=-24+70i$

Igualando las partes reales e imaginarias se tiene que:

$p^{2}-q^{2}=-24$ y$2pq=70$

Por lo que de la segunda ecuación; se tiene que $q=\frac{35}{p}$

Poniendo esto en la primera ecuación se tiene que:

$p^{4}+24p^{2}-1225=0$

Solucionando esto,usando igualmente la formula general, se tiene que:

$p^{2}=\frac{-24+ \sqrt{5476}}{2}=\frac{-24+ 74}{2}=25$

Por lo que $p=\pm5$

Entonces las raíces de $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$

Son:

$w_1=5+7i$ y $w_2=-5-7i$

Por lo que las soluciones a la ecuación son:

$z_1=3+4i$ y $z_2=-2-3i$

Solución

Factorizando el polinomio se tiene que:

$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=(z-3-4i)(z+2+3i)$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 23:35 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Exprese $\left(3-i\right)^{2}$ en la forma exponencial $z=re{}^{i\theta}$.

Procedimiento

Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: \[ 3-i=|3-i|e{}^{i Arg\left(3-i\right)} \] Donde: \[ |3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad Arg\left(3-i\right)=-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \] Por lo tanto: \[ 3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} \]

'Solución

\[ \left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} \]

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Tlacaelel Cruz (discusión) 20:55 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Encontrar las soluciones de la ecuación diferencial homogénea.

\begin{equation*} {y}''+y'+y=0 \end{equation*}

Procedimiento

La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial homogénea es:

$m^{2}+m+1=0$

Usando la formula general, para encontrar las raíces de esta ecuación, se tiene que:

$m=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Donde $a=1$ ; $b=1$ y $c=1$

Usando la formula general, se tiene que:

$m=\frac{-1+\sqrt{1^{2}-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

Por lo que las raíces de la ecuación auxiliar son:

$m_1=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt3 }{2}$

$m_2=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt3 }{2}$

Por lo que las soluciones a la ecuación diferencial son:

$y_1=e^{m_1x}$ ; $y_1=e^{m_2x}$

Solución

Por lo que la solución es:

$y_1=e^{-\frac{1}{2}x}\cos\frac{\sqrt3}{2}x$

$y_2=e^{-\frac{1}{2}x}\sin\frac{\sqrt3}{2}x$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 13

Resolver la ecuación diferencial:

\begin{equation*} y''-4y'+13y=0 \end{equation*}

Procedimiento

El polinomio característico de la ecuación diferencial es:

$m^2-4m+13=0$

Con la fórmula general obtenemos las raíces

$m = \dfrac{4\pm \sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$

$m=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$

Por lo que los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son:

$\alpha=2$, $\beta=3$

Solución

La solución general de la ecuación diferencial es:

$y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$

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Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 15:21 15 mayo 2015 (CDT)

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ejercicio 21

Factorizar el polinomio cuadrático.

\begin{equation*} 4z^{2}+12z+34=0 \end{equation*}

Donde

$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$

Es una raíz, de dicho polinomio

Procedimiento

sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

donde $a=4$ , $b=12$ y $c=34$

sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$

Solución

Por lo que las raíces del polinomio son:

$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$

$z_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i$

Lo cual cumple ademas, con que:

$z_2=\bar{z_1}$

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Resuleto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:50 19 mayo 2015 (CDT)

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