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Ejercicios del capítulo 1, sección 6 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan. | Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 6 "Aplicaciones" del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan. *** | ||
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===Ejercicio 1=== | ===Ejercicio 1=== | ||
1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general | 1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general | ||
$z^{2}+iz-2=0$ | $z^{2}+iz-2=0$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Usando la fórmula general se tiene que: | Usando la fórmula general se tiene que: | ||
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$z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$ | $z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$ | ||
$z_{1}=\frac{ | $z_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$ | ||
$z_{2}=\frac{ | $z_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$ | ||
Son soluciones de z. | Son soluciones de z. | ||
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Queda como: | Queda como: | ||
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$\left (z-(\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )\left (z-(\frac{-i}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo que factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$ se tiene que: | |||
Elaborado por | $z^{2}+iz-2=(z+\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})(z-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})=0$ | ||
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'''Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.''' | '''Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.''' | ||
$iz^{2}-z+i=0$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$ | Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$ | ||
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Entonces por la fórmula general obtenemos | Entonces por la fórmula general obtenemos | ||
\ | $z=\frac{-b+(b^{2}-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$ | ||
z=\frac{i\ | |||
Se tiene que: | |||
$z=\frac{1+(-1^{2}-4i\cdot i)^{\frac{1}{2}}}{2i}$ | |||
$z=\frac{1+(1+4)^{1/2}}{2i}=\frac{1+(5)^{1/2}}{2i}$ | |||
Dado que 5 es un numero real, las raices son reales, por lo que se tiene | |||
$z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2i}$ | |||
$z_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2i}$ | |||
Para quitar la unidad imaginaria, del denominador, basta por multiplicar arriba y abajo por i. | |||
$ | $z_1=\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2}$ | ||
$ | $z_2=\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}$ | ||
Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma | Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma | ||
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Por lo tanto la factorización queda como: | Por lo tanto la factorización queda como: | ||
'''Solución''' | |||
$i\left [ (z-\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2})(z-\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}) \right ]=0$ | |||
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===Ejercicio 3=== | ===Ejercicio 3=== | ||
Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general | |||
$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=0$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
$z=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ | |||
Utilizando la ecuación de la formula general, se obtiene: | |||
$a=1$ ; $b=-1-i$ ; $c=6-17i$ | |||
$z=\frac{(1+i)+\left [ (-1-i)^{2}-4(1)(6-17i) \right ]^{1/2}}{2}=\frac{(1+i)(-24+70i)^{1/2}}{2} $ | |||
Para calcular: $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$ | |||
Se puede usar que | |||
$\left (p+iq \right )^{2}=-24+70i$ | |||
por lo que | |||
$p^{2}-q^{2}+2pqi=-24+70i$ | |||
Igualando las partes reales e imaginarias se tiene que: | |||
$p^{2}-q^{2}=-24$ y$2pq=70$ | |||
$ | Por lo que de la segunda ecuación; se tiene que $q=\frac{35}{p}$ | ||
Poniendo esto en la primera ecuación se tiene que: | |||
$p^{4}+24p^{2}-1225=0$ | |||
Solucionando esto,usando igualmente la formula general, se tiene que: | |||
$p^{2}=\frac{-24+ \sqrt{5476}}{2}=\frac{-24+ 74}{2}=25$ | |||
Por lo que $p=\pm5$ | |||
$ | Entonces las raíces de $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$ | ||
Son: | |||
$w_1=5+7i$ y $w_2=-5-7i$ | |||
Por lo que las soluciones a la ecuación son: | |||
$ | $z_1=3+4i$ y $z_2=-2-3i$ | ||
'''Solución''' | |||
Factorizando el polinomio se tiene que: | |||
$ | $z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=(z-3-4i)(z+2+3i)$ | ||
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===Ejercicio 11=== | ===Ejercicio 11=== | ||
Exprese $\left(3-i\right)^{2}$ en la forma exponencial $z=re{}^{i\theta}$. | |||
'''Procedimiento''' | |||
Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: | Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: | ||
\[ | \[ | ||
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Donde: | Donde: | ||
\[ | \[ | ||
|3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\ | |3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad Arg\left(3-i\right)=-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) | ||
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Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
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3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} | 3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} | ||
\] | \] | ||
'''Solución'' | |||
\[ | \[ | ||
\left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} | \left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} | ||
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===Ejercicio 15=== | ===Ejercicio 15=== | ||
Encontrar las soluciones de la ecuación diferencial homogénea. | |||
\begin{equation*} | |||
{y}''+y'+y=0 | |||
\end{equation*} | |||
'''Procedimiento''' | |||
La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial homogénea es: | |||
$m^{2}+m+1=0$ | |||
Usando la formula general, para encontrar las raíces de esta ecuación, se tiene que: | |||
$m=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ | |||
Donde $a=1$ ; $b=1$ y $c=1$ | |||
Usando la formula general, se tiene que: | |||
$m=\frac{-1+\sqrt{1^{2}-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ | |||
Por lo que las raíces de la ecuación auxiliar son: | |||
$m_1=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt3 }{2}$ | |||
$m_2=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt3 }{2}$ | |||
Por lo que las soluciones a la ecuación diferencial son: | |||
$y_1=e^{m_1x}$ ; $y_1=e^{m_2x}$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo que la solución es: | |||
$y_1=e^{-\frac{1}{2}x}\cos\frac{\sqrt3}{2}x$ | |||
$y_2=e^{-\frac{1}{2}x}\sin\frac{\sqrt3}{2}x$ | |||
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===Ejercicio 13=== | ===Ejercicio 13=== | ||
Resolver la ecuación diferencial: | |||
\begin{equation*} | |||
y''-4y'+13y=0 | |||
\end{equation*} | |||
'''Procedimiento''' | |||
El polinomio característico de la ecuación diferencial es: | El polinomio característico de la ecuación diferencial es: | ||
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Con la fórmula general obtenemos las | Con la fórmula general obtenemos las raíces | ||
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$\alpha=2$, $\beta=3$ | $\alpha=2$, $\beta=3$ | ||
'''Solución''' | |||
La solución general de la ecuación diferencial es: | La solución general de la ecuación diferencial es: | ||
$y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$ | $y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$ | ||
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[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 15:21 15 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 15:21 15 mayo 2015 (CDT) | ||
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===ejercicio 21=== | ===ejercicio 21=== | ||
Factorizar el polinomio cuadrático. | |||
\begin{equation*} | |||
4z^{2}+12z+34=0 | |||
\end{equation*} | |||
Donde | |||
$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$ | |||
Es una raíz, de dicho polinomio | |||
'''Procedimiento''' | |||
sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ | sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ | ||
donde $a=4$ , $b=12$ y $c= | donde $a=4$ , $b=12$ y $c=34$ | ||
sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$ | sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$ | ||
Lo cual | '''Solución''' | ||
Por lo que las raíces del polinomio son: | |||
$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$ | |||
$z_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i$ | |||
Lo cual cumple ademas, con que: | |||
$z_2=\bar{z_1}$ | |||
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Resuleto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:50 19 mayo 2015 (CDT) | Resuleto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:50 19 mayo 2015 (CDT) | ||
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Revisión actual - 03:37 8 feb 2023
Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 6 "Aplicaciones" del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan. ***
Sección 1.6
Ejercicio 1
1.Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general
$z^{2}+iz-2=0$
Procedimiento
Usando la fórmula general se tiene que:
$a=1$
$b=i$
$c=-2$
Entonces :
$z=\frac{-i\pm\sqrt{i^{2}-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{-i\pm\sqrt{7}}{2}$
$z_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$
$z_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{i}{2}$
Son soluciones de z.
Ahora, factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$
Queda como:
$\left (z-(\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )\left (z-(\frac{-i}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}) \right )$
Solución
Por lo que factorizando de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$ se tiene que:
$z^{2}+iz-2=(z+\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})(z-\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{i}{2})=0$
Elaborado por: --Francisco Medina Albino (discusión) 19:43 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Resuelva la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general.
$iz^{2}-z+i=0$
Procedimiento
Reconocemos primero $a=i;b=-1;c=i$
Entonces por la fórmula general obtenemos
$z=\frac{-b+(b^{2}-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$
Se tiene que:
$z=\frac{1+(-1^{2}-4i\cdot i)^{\frac{1}{2}}}{2i}$
$z=\frac{1+(1+4)^{1/2}}{2i}=\frac{1+(5)^{1/2}}{2i}$
Dado que 5 es un numero real, las raices son reales, por lo que se tiene
$z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2i}$
$z_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2i}$
Para quitar la unidad imaginaria, del denominador, basta por multiplicar arriba y abajo por i.
$z_1=\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2}$
$z_2=\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}$
Ahora, teniendo las raíces podemos factorizar la ecuación de la forma $az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2})$
Por lo tanto la factorización queda como:
Solución
$i\left [ (z-\frac{i(-\sqrt{5}-1)}{2})(z-\frac{i(+\sqrt{5}-1)}{2}) \right ]=0$
A. Martín R. Rabelo*** (discusión)*** 15:05 15 mayo 2015 (CDT) *** Corregido
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación cuadrática dada usando la fórmula general
$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=0$
Procedimiento
$z=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Utilizando la ecuación de la formula general, se obtiene:
$a=1$ ; $b=-1-i$ ; $c=6-17i$
$z=\frac{(1+i)+\left [ (-1-i)^{2}-4(1)(6-17i) \right ]^{1/2}}{2}=\frac{(1+i)(-24+70i)^{1/2}}{2} $
Para calcular: $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$
Se puede usar que
$\left (p+iq \right )^{2}=-24+70i$
por lo que
$p^{2}-q^{2}+2pqi=-24+70i$
Igualando las partes reales e imaginarias se tiene que:
$p^{2}-q^{2}=-24$ y$2pq=70$
Por lo que de la segunda ecuación; se tiene que $q=\frac{35}{p}$
Poniendo esto en la primera ecuación se tiene que:
$p^{4}+24p^{2}-1225=0$
Solucionando esto,usando igualmente la formula general, se tiene que:
$p^{2}=\frac{-24+ \sqrt{5476}}{2}=\frac{-24+ 74}{2}=25$
Por lo que $p=\pm5$
Entonces las raíces de $\left(-24+70i\right)^{\frac{1}{2}}$
Son:
$w_1=5+7i$ y $w_2=-5-7i$
Por lo que las soluciones a la ecuación son:
$z_1=3+4i$ y $z_2=-2-3i$
Solución
Factorizando el polinomio se tiene que:
$z^{2}-\left(1+i\right)z+6-17i=(z-3-4i)(z+2+3i)$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 23:35 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Exprese $\left(3-i\right)^{2}$ en la forma exponencial $z=re{}^{i\theta}$.
Procedimiento
Dado que usar cualquiera de las formas es equivalente conviene escribir $3-i$ en la forma exponencial para luego elevarla al cuadrado: \[ 3-i=|3-i|e{}^{i Arg\left(3-i\right)} \] Donde: \[ |3-i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, \quad Arg\left(3-i\right)=-\arctan\left(\frac{1}{3}\right) \] Por lo tanto: \[ 3-i=\sqrt{10}e{}^{-i \arctan\left(\frac{1}{3}\right)} \]
'Solución
\[ \left(3-i\right)^{2}=\sqrt{10}^{2}e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}=10e{}^{-2\,i\,\arctan\left(\frac{1}{3}\right)}\sim 10 e{}^{-0.6435i} \]
Tlacaelel Cruz (discusión) 20:55 19 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Encontrar las soluciones de la ecuación diferencial homogénea.
\begin{equation*} {y}''+y'+y=0 \end{equation*}
Procedimiento
La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial homogénea es:
$m^{2}+m+1=0$
Usando la formula general, para encontrar las raíces de esta ecuación, se tiene que:
$m=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Donde $a=1$ ; $b=1$ y $c=1$
Usando la formula general, se tiene que:
$m=\frac{-1+\sqrt{1^{2}-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$
Por lo que las raíces de la ecuación auxiliar son:
$m_1=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt3 }{2}$
$m_2=-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt3 }{2}$
Por lo que las soluciones a la ecuación diferencial son:
$y_1=e^{m_1x}$ ; $y_1=e^{m_2x}$
Solución
Por lo que la solución es:
$y_1=e^{-\frac{1}{2}x}\cos\frac{\sqrt3}{2}x$
$y_2=e^{-\frac{1}{2}x}\sin\frac{\sqrt3}{2}x$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 13
Resolver la ecuación diferencial:
\begin{equation*} y''-4y'+13y=0 \end{equation*}
Procedimiento
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
$m^2-4m+13=0$
Con la fórmula general obtenemos las raíces
$m = \dfrac{4\pm \sqrt{4^2-4(1)(13)}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{4\pm \sqrt{-36}}{2}$
$m=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$
Por lo que los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son:
$\alpha=2$, $\beta=3$
Solución
La solución general de la ecuación diferencial es:
$y(t)=e^{2t}(c_1\cos 3t + c_2\sin 3t)$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 15:21 15 mayo 2015 (CDT)
ejercicio 21
Factorizar el polinomio cuadrático.
\begin{equation*} 4z^{2}+12z+34=0 \end{equation*}
Donde
$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$
Es una raíz, de dicho polinomio
Procedimiento
sabemos que $z=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
donde $a=4$ , $b=12$ y $c=34$
sustituyendo tenemos que $z=\frac{-12\pm\sqrt{-400}}{8}=\frac{-3\pm5i}{2}$
Solución
Por lo que las raíces del polinomio son:
$z_{1}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i$
$z_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}i$
Lo cual cumple ademas, con que:
$z_2=\bar{z_1}$
Resuleto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:50 19 mayo 2015 (CDT)