Compleja:Zill-Cap1.5

Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 5 Conjuntos de puntos en el plano complejo del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 1.5

Ejercicio 1

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

$\left|z-4+3i\right|=5$

Procedimiento

Tomando a $z=x+iy$

$\left|x+iy-4+3i\right|=5$

$\left|(x-4)+i(y+3)\right|=5$

De la definición de norma $\left|a+ib\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, se tiene:

$\sqrt{(x-4)^{2}+(y+3)^{2}}=5$

Es decir.

$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=25$

Que describe una circunferencia de radio $r=5$ y centro $(4,-3)$.

Gráfica

Ejercicio 1. La región descrita esta dada por la circunferencia de radio 5 y centro en $(4,-3i)$ En el plano complejo

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Resuelto por:--Luis Santos (discusión) 12:41 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

$\left|z+2+2i\right|=2$

Procedimiento

Se puede escribir:

$\left|x+iy+2+2i\right|=2$

$\left|(x+2)+i(y+2)\right|=2$

Empleando la definición de norma:

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=4$

Que describe una circunferencia de radio $r=2$ y centro en $(-2,-2)$

Gráfica

Ejercicio 2. La región descrita esta dada por la circunferencia de radio 2 y centro en $(-2,-2i)$ En el plano complejo

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Resuelto por:--Luis Santos (discusión) 12:41 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

\[ |z+3i|=2 \]

Procedimiento

Tomando \[ z=x+iy \]

\[ |x+iy+3i|=2 \]

de la definición de norma $|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ tenemos

\[ \sqrt{\left(x\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}}=2 \]

elecando todo al cuadrado tenemos

\[ \left(x\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=(2)^{2} \]

Que describe una circunferencia de radio r=2 y centro $(0,-3)$.

Gráfica

Ejercicio 3. La región descrita esta dada por la circunferencia de radio 2 y centro en $(0,-3i)$ En el plano complejo

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Resuelto por:--Martin Flores Molina (discusión) 16:15 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

$|2z-1|=4$

Procedimiento

Definiendo a z como $z=x+yi$ del ejercicio tenemos que $|2(x+yi)-1|=4$

Entonces :

$|2(x+iy)-1|=4$

$|(2x+2yi)-1|=4$

Entonces sabiendo que $|x+yi|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Tenemos que:

$\sqrt{(2x-1)^{2}+(2y)^{2}}=4$

Elevando al cuadrado:

$(2x-1)^{2}+(2y)^{2}=16$

Desarrollando los cuadrados:

$4x^{2}-4x+1+4y^{2}=16$

Al dividir todo entre 4.

$x^{2}-x+\frac{1}{4}+y^{2}=4$

Completando el cuadrado:

$\left (x-\frac{1}{2} \right )^{2}+y^{2}=2^{2}$

Esta ecuación es la de un circulo centrado en $(\frac{1}{2},0)$ y de radio 2

Gráfica 

Ejercicio 4. La región descrita esta dada por la circunferencia de radio 2 y centro en $(\frac{1}{2},0)$ En el plano complejo

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Realizado por: *****A. Martín R. Rabelo (discusión) 17:50 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

Procedimiento

$Im\left(\bar{z}+3i\right)=6$

Si $z=x+iy$ entonces:

$Im\left(\bar{z}+3i\right)=Im\left(x-iy+3i\right)=3-y=6$

Por lo que $y=-3$

A continuación se muestra una gráfica de la parte imaginaria de la primera ecuación mostrada:

Gráfica

Falta poner en svg

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Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 18:57 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

$Im(z-i)=Re(z+4-3i)$

Procedimiento 

$Im(z-i)=Re(z+4-3i)$

$Im(x+(y-1)i)=Re((x+4)+(y-3)i)$

$y-1=x+4$

$x-y+4+1=0$

$x-y+5=0$

$y=x+5$

Lo cual es la ecuación de una recta.

Gráfica 

Ejercicio 8. La región descrita esta dada por la recta que corta la parte real en $Re(z)=-5$ y en el eje imaginario $Im(z)=5$. En el plano complejo

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Resuelto por:--Luis Santos (discusión) 12:41 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo.

$Re(z^{2})=1$

Procedimiento

Sea $z=x+iy$, se tiene que $z^{2}=x^{2}-2xyi-y^{2}$

Por lo que

$Re(z^{2})=Re((x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}$

Finalmente se tiene

$x^{2}-y^{2}=1$

Una hipérbola equilátera centrada en el origen.

Gráfica

Ejercicio 11. La región descrita esta dada por Una hipérbola equilátera centrada en el origen. En el plano complejo

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Resuelto por:--Luis Santos (discusión) 12:41 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33

En la página 31 dijimos que si $\rho_{1}>0$, entonces el conjunto de puntos que satisface $\rho_{1}<|z-z_{0}|$ es el exterior del círculo de radio $\rho_{1}$ centrado en $z_0$. .En general, describe el conjunto si $\rho_{1}=0$. En particular, describa el conjunto definido por $|z+2-5i|>0$.

Solución 

$\rho_{1}=0$ $\Rightarrow$ $|z-z_{0}|>0$ si $z=z_{0}$ $\Rightarrow|0|>0$ lo cual carece sentido.

La condición se cumple para cualquier par de números distintos complejos, el conjunto de puntos es todo el plano complejo salvo un punto, $z_{0}$, podemos acercarnos todo lo que queramos, pero no podemos llegar a tocar $z_{0}$, si así fuera tendríamos incongruencias.

Ahora bien, bajo el caso particular \[ |z+2-5i|>0 \]

llevándolo a la forma $|z-z_{0}|>0$, tendríamos que $z_{0}=-2+5i$

De acuerdo a lo dicho anteriormente, el conjunto de puntos que cumplen con esa condición es todo el plano complejo, salvo un punto en ese caso $z_{0}=-2+5i$, podemos acercarnos todo lo que queramos, pero no tocarlo.

Ejercicio 33. La región descrita esta dada por todo el plano complejo excepto por el punto $z_0=-2+5i$

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Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 01:49 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 35

Usando notación compleja y desigualdades en las partes a) y b):

a) Hacer una lista de cinco conjuntos del plano complejo que sean conectados.

b) Hacer una lista de cinco conjuntos del plano complejo que sean no-conectados.

Inciso a

a) Para los conectados tenemos:

$0<|z|<\rho$; $\rho \epsilon R$

$|z-z_0|\leq \rho$ con $z_0=a+ib$

$|z-z_0|>\rho$

$\beta \leq |z-z_0|<\rho$; $\beta \epsilon R$

$4<Re(z)\leq 5$

Inciso b

b) Para los no-conectados:

Para todo número $z$ que satisfaga las siguientes condiciones;

$Re(z)\neq \rho$; $\rho \epsilon R$

$Im(z)\neq \rho$

$|z-(1-2i)|\leq 5 \cup |z-(7+23i)|<1$

$Re(z)\leq 2 \cup |z-(5+i)|<0.01$

$Im(z)>-1 \cup |z-(3-5i)|<0.1$

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Realizado por:Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 14:35 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 40

Describa el conjunto sombreado en la siguiente figura:

Se ve que la magnitud del número complejo esta entre r y R, es decir: \[ z:r \leq |z|\leq R \] Y que además el argumento va de 0 a $\pi$ \[ z:0\leq Arg\left(z\right)\leq\pi \] O bien la parte real es positiva \[ z:Re\left(z\right)\geq0 \] Es decir:

Conclusión

\[ \left\{z:r\leq|z|\leq R \:\: AND \:\: Re\left(z\right)\geq0 \right\} \]

Ó

\[ \left\{z:r\leq|z|\leq R \:\: AND \:\: 0\leq Arg\left(z\right)\leq\pi \right\} \]

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 20:31 19 mayo 2015 (CDT)

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