Diferencia entre revisiones de «Analogia electrica de vibraciones mecanicas»
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Como conclusión, se puede decir que se confirmó que un circuito $LC$ se puede comportar como una vibración y se puede describir con la ecuación del oscilador armónico. Lo único que cambia son las interpretaciones de los resultados. | Como conclusión, se puede decir que se confirmó que un circuito $LC$ se puede comportar como una vibración y se puede describir con la ecuación del oscilador armónico. Lo único que cambia son las interpretaciones de los resultados. | ||
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Revisión del 22:33 13 jul 2020
Introducción
En el trabajo de crear modelos matemáticos que describan los fenómenos naturales, se han dado cuenta que algunos de ellos pueden ser descritos con expresiones matemáticas muy similares entre si. Desde la relación gravitacional de Newton y la relación de Coulomb, hasta las vibraciones de un péndulo y un circuito con corriente alterna. Los últimos dos fenómenos mencionados tienen en común su comportamiento, ambos pueden ser descritos como vibraciones libres y pueden ser descritos por la ecuación del oscilador armónico simple.
Para poder relacionar un fenómeno con el oscilador armónico, basta con describir al fenómeno con una expresión matemática que se parezca a la siguiente
\begin{equation} \ddot{\psi}+\omega^{2}\psi=0. \label{oa} \end{equation}
La solución de (\ref{oa}) está en plano de los números complejos
\begin{eqnarray*} \psi=A e^{i \omega t}= A(\cos (\omega t) + i\mathrm{sen} (\omega t)). \end{eqnarray*}
En éste texto se utilizará sólo la parte real,
\begin{eqnarray*} \psi= A \cos (\omega t). \label{sol} \end{eqnarray*}
Dicha solución propuesta satisface sin problemas a (\ref{oa}) y describe un fenómeno de vibración.
El estudio de (\ref{oa}) ha ayudado al estudio de varios fenómenos, la única diferencia es la interpretación de los resultados y el análisis de las gráficas. Los comportamientos pueden ser los mismos, pero los fenómenos no.
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 21:46 12 jul 2020 (CDT)
Circuitos LC
Se habla de un circuito $LC$ cuando se tiene sólo capacitores e inductores. En éste texto, se analizará un circuito en serie donde se tendrá sólo un capacitor y también sólo un inductor. También, parte del objetivo de éste texto es realizar un análisis comparativo con el oscilador armónico.
El circuito está ilustrado en la figura anterior, es de una sola malla y, como ya se mencionó, sólo tiene un capacitor y un inductor, no se tiene una fuente de voltaje externo. Al ser una sola malla y estar en serie, la expresión matemática que describe al circuito es
\begin{equation} L\frac{dI}{dt}=-\frac{\int Idt}{C}. \label{cir} \end{equation}
Donde $L$ es la inductancia y $C$ es la capacitancia. La carga queda descrita por $-\int Idt$, eso significa que la carga dependerá del tiempo. En éste circuito el potencial queda descrito por $\frac{\int Idt}{C}$.
Lo siguiente es pasar la expresión (\ref{cir}) a una que se parezca al oscilador armónico. Primero, la carga quedará descrita por una función dependiente del tiempo y será $-\psi(t)$. Eso hace que la corriente $I$ sea $\dot{\psi}$ y la derivada de la corriente es $\ddot{\psi}$, por lo tanto, nuestra expresión se puede reescribir de la siguiente forma
\begin{equation} \ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=0. \label{cir2} \end{equation}
En la expresión (\ref{cir2}) sólo se dividió todo entre $L$ y se usó la siguiente igualdad $\omega^{2}=\frac{1}{LC}$. Después de esto, ya se tiene la ecuación del movimiento armónico y la solución que se propone es
\begin{eqnarray*} \psi=A\cos(\omega t+\phi_{0}) \end{eqnarray*}
Donde $\phi_{0}=0$, así, al derivar y evaluar con las condiciones ideales, se puede obtener la corriente máxima, se hace esto porque es un cálculo muy común cuando se resuelven circuitos.
\begin{eqnarray*} \dot{\psi}=-Aw\mathrm{sen}(\omega t) \end{eqnarray*}
Si se evalúa en $t=\frac{\pi}{2\omega}$ la función seno vale 1 y se obtiene el máximo de la corriente, eso da como resultado que $A\omega=I_{m}$, donde $I_{m}$ es la amplitud máxima de la corriente o la corriente máxima. Pero hay que recordar que la carga es $-\psi$, eso hace que la corriente sea $-\dot{\psi}$
\begin{equation} I(t)=I_{m}\mathrm{sen}(\omega t) \label{corriente} \end{equation}
Una vez hecho esto, la carga se puede reescribir con la constante $I_{m}$
\begin{equation} q(t)=-\frac{I_{m}}{\omega}\cos(\omega t+\phi_{0}), \label{carga} \end{equation}
y también se puede escribir el Voltaje
\begin{equation} V(t)=-\frac{I_{m}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi_{0}). \label{voltaje} \end{equation}
Al observar las funciones (\ref{carga}) y (\ref{voltaje}), se puede notar que son proporcionales, la única diferencia es la capacitancia, la cual hace que la amplitud del Voltaje sea menor a la amplitud de la Carga pero, el comportamiento es el mismo, alcanzas sus valores máximos al mismo tiempo y también son cero al mismo tiempo. En la siguiente figura se puede apreciar de mejor manera el comportamiento descrito
A la figura no se le pone unidades en el eje Y porque las unidades son distintas para las curvas, pero se grafican juntas para poder apreciar que tienen el mismo comportamiento, se comportan como una vibración.
La Corriente, a diferencia de la Carga y del Voltaje, tiene el mismo comportamiento pero a distintos tiempos. Cuando la Carga está en su valor máximo, la Corriente es cero, pero cuando la corriente está en su valor máximo, la carga es cero, a éste tipo de corriente se le llama Corriente alterna. Éste comportamiento queda ilustrado en la siguiente figura
Hay que resaltar que los comportamientos son igualas a una vibración, pero los fenómenos son causados por capacitores, inductores y corrientes eléctricas. La última figura contiene las tres curvas para poder observar los tres cambios el mismo tiempo.
Energía
Para hacer la analogía de la energía, se tiene que partir de un paso más atras de la ecuación (\ref{oa}), mostrando su forma antes de juntar las constantes que forman a $\omega$, esa expresión matemática es la siguiente
\begin{equation} m\ddot{\psi}=-\kappa \psi. \label{masa} \end{equation}
Donde $m$ es la masa y $\kappa$ es la cosntante restitutiva, hay que recordas que éste modelo parte de un resorte con una masa en un extremo.
Si (\ref{masa}) se compara con (\ref{cir}), se pueden asociar las constantes. Se puede decir que $L$ es $m$ y que $\frac{1}{C}$ es $\kappa$. Éstas semejansas hacen que se puedan asociar otras cantidades físicas como la energía cinética y la energía potencial.
La energía cinética queda descrita por
\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_{k}=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}. \end{eqnarray*}
Si se usan las equivalencias, se obtiene la siguiente expresión
\begin{equation}
U_{B}=\frac{1}{2}LI^{2}.
\label{l}
\end{equation}
Donde (\ref{l}) es la expresión de la energía almacenada por un campo magnético.
La energía potencial en el oscilador es
\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_{p}=\frac{1}{2}\kappa\psi^{2}. \end{eqnarray*}
Al igual que con la energía cinética, aqui también existe una equivalente
\begin{equation} U_{E}=\frac{1}{2}\frac{1}{C}q^{2}. \label{c} \end{equation}
Donde (\ref{c}) describe la energía almacenada en un campo eléctrico.
Como conclusión, se puede decir que se confirmó que un circuito $LC$ se puede comportar como una vibración y se puede describir con la ecuación del oscilador armónico. Lo único que cambia son las interpretaciones de los resultados.
Circuito RCL
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 21:49 12 jul 2020 (CDT)
