Derivadas
2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única
función
que satisface las condiciones impuestas.
Por definición tenemos que
para todo
Se tienen dos consecuencias inmediatas.
- Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
- Si f es diferenciable en a, existe al menos una función
que satisface la diferencia; además si
existe ![{\displaystyle f'(a)=\phi (a)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a708409a2d5907bf5936c20b018287b45f5efa6f)
Por lo que existe una
que satisfacen las condiciones dadas previamente.
Demostración
Suponemos que
y
son dos funciones tales que
y
.
Sea
. Entonces
y además
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que
por consiguiente
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:49 4 dic 2012 (CST)
2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados
un conjunto abierto y
funciones, si
y
diferenciables en
, entonces:
(1)
es diferenciables en
y además
.
(2)
es diferenciables en
y además
.
(3) Si
,
es diferenciables en
y además si
.
Demostración
De la derivación a la Carathéodory tenemos que
.
Inciso 1
(1)
=
Inciso 2
(2)
, pues cuando
Inciso 3
(3) Sea
, entonces
como
entonces
, luego, del inciso (2) se tiene que
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)
2.5 (Teorema del valor medio) Si
con
, es continua y además es derivable en
, demuestre que existe un
, tal que:
Suponemos una función
, como
es continua en
, aparte la otra función
, es continua en el intervalo entonces
también lo es.
Obtengamos su derivada:
Es diferenciable en
al igual que
Ahora, notemos;
El Teorema de Rolle, nos dice que exite
en
tal que:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=\mathcal{g}^´ \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^' \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^' \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).}
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 01:09 29 nov 2012 (CST)
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si
es continua e inyectiva y para Error al representar (error de sintaxis): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)
existe y no es nula, para la inversa
de
se tiene que
.
Demostración.
Sea
.
Como
es derivable en
, tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde
es continnua en
.
Consideremos que
es un intervalo abierto contenido en el dominio de
, entonces
Error al representar (error de sintaxis): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I
.
Por tanto
,
donde
es continua en
y
continua en
.
Así que
es continua en
. Luego
es derivable en
y ![(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf73a2afc0863ee9b31de9e599299b3af1076e4)
.
Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)
--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)
2.8 Si
es una región y
es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función
tal que
, demuestre que cualquiera dos primitivas de
difieren solo por una constante.
- Demostración:
Sean
dos primitivas de
, entonces
&
, luego
, luego, por la proposición 2.5,
, es decir, que las funciones
&
difieren solo por una constante.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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