Derivadas
2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única
función
que satisface las condiciones impuestas.
Por definición tenemos que
para todo
Se tienen dos consecuencias inmediatas.
- Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
- Si f es diferenciable en a, existe al menos una función
que satisface la diferencia; además si
existe ![{\displaystyle f'(a)=\phi (a)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a708409a2d5907bf5936c20b018287b45f5efa6f)
Por lo que existe una
que satisfacen las condiciones dadas previamente.
Demostración
Suponemos que
y
son dos funciones tales que
y
.
Sea
. Entonces
y además
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que
por consiguiente
Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:49 4 dic 2012 (CST)
2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados
un conjunto abierto y
funciones, si
y
diferenciables en
, entonces:
(1)
es diferenciables en
y además
.
(2)
es diferenciables en
y además
.
(3) Si
,
es diferenciables en
y además si
.
Demostración
De la derivación a la Carathéodory tenemos que
.
Inciso 1
(1)
=
Inciso 2
(2)
, pues cuando
Inciso 3
(3) Sea
, entonces
como
entonces
, luego, del inciso (2) se tiene que
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)
2.5 (Teorema del valor medio) Si
con
, es continua y además es derivable en
, demuestre que existe un
, tal que:
Inciso 3
Suponemos una función
, como
es continua en
, aparte la otra función
, es continua en el intervalo entonces
también lo es.
Obtengamos su derivada:
Es diferenciable en
al igual que
Ahora, notemos:
El Teorema de Rolle, nos dice que exite
en
tal que:
Realizado por: Luis Antonio (discusión) 01:09 29 nov 2012 (CST)
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si
es continua e inyectiva y para
existe y no es nula, para la inversa
de
se tiene que
.
Demostración.
Sea
.
Como
es derivable en
, tenemos que
donde
es continnua en
.
Consideremos que
es un intervalo abierto contenido en el dominio de
, entonces
.
Por tanto
,
donde
es continua en
y
continua en
.
Así que
es continua en
. Luego
es derivable en
y ![(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf73a2afc0863ee9b31de9e599299b3af1076e4)
.
Comentario por: Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)
Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.
Realizado por: Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)
2.8 Si
es una región y
es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función
tal que
, demuestre que cualquiera dos primitivas de
difieren solo por una constante.
Demostración:
Sean
dos primitivas de
, entonces
&
, luego
, luego, por la proposición 2.5,
, es decir, que las funciones
&
difieren solo por una constante.
Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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