Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4,
con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Ejercicio 4.45
Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de
muestre que
, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal
- Solución:
- Tenemos los siguientes datos conocidos:
- Indice de refracción del aire
es: 1
- Indice de refracción del dieléctrico
es :![n](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- Ángulo de incidencia =
![{ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8c831bc9999cd25d02f49a0e82168d7261103b)
- Ángulo de refracción =
![{ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fb8765911c7128249113249d9e2c6d12c4fe9e)
- Aplicando la ley de Snell:
![{ n }_{ i }sin{ \theta }_{ i }={ n }_{ t }sin{ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb07b045bf49768e6d38d507e72fc861e8e8a365)
![sin{ \theta }_{ i }=nsin{ \theta }_{ t }\quad ......(1)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1256fc9f7564a626ea8837f66a31b55e095e9ba8)
- Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
![sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fb1a92f269b9a1fa798d39693e38cc25015428)
![sin{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ t }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b43627ee4e05d19177f94b5d65a0420987fa4a)
- La Ecuación (1) se reduce:
![n{ \theta }_{ t }={ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0117a11dd3cbf4d93b8912f25d9f2e46b31f854e)
- De la última expresión tenemos:
![{ \theta }_{ t }=\frac { { \theta }_{ i } }{ n }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca4c93948fbfd221953fd94bdac943b1535b532)
- Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando
muy pequeñas :
![{ r }_{ \bot }=-\frac { sin({ \theta }_{ i }-{ \theta }_{ t }) }{ sin({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) } \quad .....(a)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0f04feb175e6b0da33754ad7d22dcd1345edcb)
- Haciendo la consideración:
![{ r }_{ \bot }=\frac { ({ \theta }_{ t }-{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+{ \theta }_{ t }) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d9c51f45c45d7359b410ad283cef50eb447514)
- ocupando
, y sustituyendo en la ultima ecuación:
![{ r }_{ \bot }=\frac { (\frac { { \theta }_{ i } }{ n } -{ \theta }_{ i }) }{ ({ \theta }_{ i }+\frac { { \theta }_{ i } }{ n } ) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fae32ed3458840bd871d603def1c922cad502e)
- Factorizando
![{ \theta }_{ i }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8c831bc9999cd25d02f49a0e82168d7261103b)
![{ r }_{ \bot }=\frac { { \theta }_{ i }(\frac { 1 }{ n } -1) }{ { \theta }_{ i }(1+\frac { 1 }{ n } ) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5549a965b14d4140b2ae03d656148ff88f4393)
- Reduciendo:
![{ r }_{ \bot }=\frac { (1-n) }{ (1+n) }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528f2f1c5765e32d2d7ab8d2a1923d753ba03b64)
- Finalmente tenemos:
![{ \left( -{ r }_{ \bot } \right) }_{ { \theta }_{ i }\approx 0 }=\frac { n-1 }{ n+1 }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdc8f5105c6dc37dabe9d197ea672f58256facd)
- --Luis Manuel Chávez Antonio
Ejercicio 4.64
Verifique que:
.........[4.49]
para
en una interfaz de vidrio crown y aire
- Solución:
Datos:
Angulo de incidencia
= 30°
Indice de refracción del cristal
= 1.52
Indice de refracción del aire = 1
Angulo de transmisión
Usando la ley de Snell obtenemos:
En angulo de transmisión
sera:
El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:
Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:
Al sumar los valores de
y
obtenemos:
Por lo tanto
- --Enrique Ortiz Martinez
Ejercicio 4.21
Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde
. Discuta la forma de la curva.
Solución:
- La ecuación de la refracción de Snell está dada por:
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
- Pero n_i=1
- Por lo tanto
Error al representar (error de sintaxis): n_i sin(θ_i )=n_t sin(θ_t )
Despejando θ_t se tiene que
Error al representar (error de sintaxis): θ_t=sin^(-1)(sinθ_i /n_t )
En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica
Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.
Los datos están en el siguiente documento.
--Fernando Valencia Hernández
Problema 4.72
Mostrar que:
Y
Solución:
La componente perpendicular de la transmitancia
esta dada por:
Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:
Sustituyendo el valor calculado de
en la Ec.
, se obtiene:
De la ley de Snell
Sustituyendo el valor de
de la Ec.
en la Ec.
, obtenemos:
Comprobando que:
Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de
, se la siguiente manera:
El comportamiento paralelo de la transmitancia
, se expresa como:
Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:
Sustituyendo el valor de
, en la Ec.
, obtenemos:
De la Ec.
Comprobando que:
--Luis Gutiérrez Melgarejo
Problema 4.63
Prueba que
para todo
, primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.
Solucion:
Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de
analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.
Así obtenemos:
Dividimos cada término con el
para obtener:
Sabemos que
Amplitud del coeficiente de transmisión
y también podemos notar que el cociente
Amplitud del coeficiente de reflexión
Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:
Por lo tanto esta probado
Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:
Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:
Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:
Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :
--Ruben Espinosa Guzmán
Ejercicio 4.68
muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,
si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es
respectivamente y
es el angulo de polarización, entonces
llamemos para la reflexion interna
....(1)
llamemos para la reflexion externa
....(2)
de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...
al multiplicar cruzado obtenemos:
si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna
y el angulo de polarización externa
son
entonces complementarios.
el angulo de polarización de la reflexión interna
y el angulo de polarización de reflexión externa
son complementarios.
queda probado.
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Ejercicio 4.51
Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
- Solución:
Los coeficientes de reflexión en medios deieléctricos son:
$ r_{\perp} =\frac{n_i \cos \theta_i- n_t \cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
$r_{\parallel} =\frac{n_t\cos \theta_i- n_i\cos \theta_t}{n_i \cos \theta_i+ n_t \cos \theta_t} $
Haciendo uso de la relación pitagórica : $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ podemos reescribir $ \cos \theta_t $ y $ \cos \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 - \sin^2 \theta_t}$
Y por Ley de Snell:
$\sin \theta_t= \frac{n_i}{n_t} \sin \theta_i$
elevamos al cuadrado:
$\sin^2 \theta_t= \frac{n_i^2}{n_t^2} \sin^2 \theta_i$
$\sin^2 \theta_i= \frac{n_t^2}{n_i^2} \sin^2 \theta_t$
Al hacer la sustitución llegamos a una expresión para $\cos \theta_t $ que involucra a $\sin \theta_i $
$\cos \theta_t= \sqrt{ 1 -\frac{n_i^2}{n_t^2} \sin ^2 \theta_i}$
con :$ \frac{n_t}{n_i} \equiv n_{ti}$
$\cos \theta_t= \sqrt{ n_{ti}^2- \sin ^2 \theta_i}$
Sustituimos en la ecuación para $ r_{\perp}$ y obtenemos:
$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Para $ r_{\parallel}$
$ \cos \theta_t= \sqrt{ \frac {1}{n_{ti}^2}- \sin ^2 \theta_i}$
Multiplicamos y dividimos por $ n_{ti}^2$
y reescribimos $ r_{\parallel}$
$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$
Aurea Espin (discusión) 00:13 29 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 4.59
Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45, que es
Ejercicio 4.11
Calcule el ángulo de transmisión para un rayo en el aire inicialmente a $30°$ en un bloque de vidrio crown $(n_v=1.52)$.
- $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}$
- donde $n_i=1$ y $n_v=n_t$
- $sin30°=(1.52)sinθt$
- $\theta_t=\sin^{-1}{(0.5/1.52)}$
- $\theta_t=19.20°$
--Verenisse
Ejercicio 4.25
comenzando con la ley de snell, pruebe que la ecuación vectorial de la refracción tiene la forma:
ntkt-niki=$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
partiendo de : $n_i\sin{\theta_i}{=n}_t\sin{\theta_t}{,n_i}( k_{i} X {u_n}){=n}_t{,n_t}( {k_t} X {u_n})$
donde: k_{i},k_{t} son los vectores unitarios de propagación
Así
${n_t}( k_{t} X {u_n}) -{n_i}( k_{i} X {u_n})=0$
$({n_t} k_{t} {-n_i} k_{i}) x U{n}=0$
dejando:
${n_t} k_{t}{-n_i} k_{i}$=${\gamma}$=${\gamma_{u_n}}$
donde
${\gamma}$ es referido como el astigmático constante, tambien
${\gamma}$ es la diferencia entre las proyecciones de ${n_t} k_{t} y { n_i} k_{i}$ en ${u_n}$
En otras palabras, es el producto punto entre ${\gamma}$ y ${u_n}$:
por lo que
${\gamma}$ =$n_t\cos{\theta_t}{-n}_i\cos{\theta_i}$
--[[Usuario:|Luisa Alejandra Vega S.]]