|
|
Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== | | ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== |
| | |
| | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' |
| | :Solucion: |
| | :Sea <math> f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde: |
| | <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math> |
| | :Derivando parcialmente: |
| | <math> u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y </math>: |
| | <math> v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x </math> |
| | :Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann |
| | |
| | |
|
| |
|
| '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>''' | | '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>''' |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea
donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
![f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} =
\lim_{h\to 0} \overline{h} = 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96dc70834ee62c13936921ecd02d0b50242253d)
- Si z \ne 0
- Si
tenemos:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b95a44aba2fa969086bd718abfe5e06c15e415)
- Si
entonces:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e754a7ab4ed686a867e2844008e1e8d9c96ad69)
- como
![z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3ebf0be2e5e5ccce2d0143c2f3bc5d50d1a216)
![\therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a714bd36bb0c062aa85378b58a856233623542)
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante. Similarmente, si
es constante, entonces
es constante.
Sea
a)
por lo tanto
.
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R)
.
Lo que implica que
b)
por lo tanto
.
Y por las condiciones C-R
.
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante.
Si
y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa,
es holomorfa.
Ahora, como
las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre
implican
.
Así que tenemos que ![\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} =0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579287f76617fd9d0322f1b999afd02837463d98)
y, por lo tanto,
.
Análogamente,
y
.
Entonces
y
son constantes y por tanto
.
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1
Compleja:z-ej-cap1.2
Compleja:z-ej-cap1.3
Compleja:z-ej-cap1.4
Compleja:z-ej-cap2.1