Prueba

Intento 1.0

sabemos que $ sen^2 + cos^2 = 1 $

Intentando mejorar el intento: \[ X = \sqrt{\pi \over 2} \]

Porque el queso es mejor que el pastel

Yo creo que el queso es mejor que el pastel, ya que puede haber pastel de queso pero no queso de pastel. Recalcaré la superioridad del queso sobre el pastel en el siguiente ejemplo: Imaginemos una situación hipotética en donde tu estas cayendo a una altura muy alta, digamos h = 1000 metros, y tienes dos opciones: la primera es dejarte caer sobre una cama de queso y la segunda dejarte caer sobre una cama de pastel. Dada tu altura, la energía potencial U con la que empezaste es:

$ U = mgh $

Debido a que estamos discutiendo sobre queso y pastel, somos unos gordos con mucha grasa en nuestras arterias, por lo tanto nuestra masa es muy alta, unos m = 150 kg. La gravedad no es 9.8 m/s^2, ya que estamos en el planeta "Waka waka eh eh", donde la gravedad es perfeccionista y es exactamente de 10 m/s^2. Por lo tanto tu energía potencial es:

$ U = 1.5 x 10^{6} J $

Con esta energía potencial podemos calcular la velocidad con la que caerás a alguna de las camas con:

$ V_{f} = \sqrt{2U \over m} $

Reemplazando los datos en V tenemos que:

$ V_{f} = {141.42 m\over s^{2}} $

No hace falta decir que esa velocidad es suficiente para matarte, y peor es nuestro caso porque pesamos 150 kg. Nuestra unica salvación son o la cama de queso o la de pastel (las cuales, estan a una altura de 500 metros sobre el suelo). Analicemos que pasaría si caemos en la cama hecha de queso y en la cama hecha de pastel.

Ésta es una página de prueba

Vibraciones y ondas If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period. hola --mfg-wiki (discusión) 12:53 8 mayo 2015 (CDT) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha\beta\iint

$ F = \sqrt{s \over m}$

Mfgwi (discusión) 16:51 14 may 2020 (CDT)

$ \nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}. $

titulo primer nivel

aqui va un texto Deducción de la ecuacion de movimiento del OAS (Método energía)

Para un sistema masa resorte podemos aplicar que:

$E_{K}+E_{P}=cte$

$\frac{d}{dt}(E_{K}+E_{P})=0$

Entonces sabemos:

$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte$

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte)$

$\frac{2}{2}mv\frac{dv}{dt}+\frac{2}{2}kx\frac{dx}{dt}=0$

$mv\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$

Sabemos que $\frac{dt}{dx}$no siempre es cero por lo tanto sugerimos:

dividir todo entre m entonce:

$v\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x\frac{dx}{dt}=0$

sabemos que $\frac{dx}{dt}=v$ entonces:

$\frac{dx}{dt}(\frac{d^{2}t}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x)=0$

Por otro lado sabemos que $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$entonces :

$\frac{d^{2}x}{dt}+\omega^{2}x=0$

La solución de la ecuacion deferencial de segundo orden es:

$x(t)=Acos(\omega t+\phi)$

y podemos deducir la velocidad y la aceleración de la siguiente manera:

$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega Asen(\omega t+\phi)$

$a_{x}(t)=\frac{dv}{dt}=-\omega^{2}Acos(\omega t+\phi)$

subtitulo de segundo nivel

\[ f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz \]

(c) $ T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s $

d) $ H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2 $ --Fernando Vazquez V. (discusión) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)

Medios estratificados - Ecuación diferencial

• 

  Ola en el proceso de 'reventar'

Holografía

Sesebasi (discusión) 15:13 30 nov 2018 (CST)

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:48 10 jul 2015 (CDT)

Campo Eléctrico

El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,

isotrópico y lineal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.

En ausencia de cargas y corrientes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.

Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ,

entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right) .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).

Si el campo es TE y la propagación en el plano y-z , entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}} .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}

puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}} y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}} .

Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2} . ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en primeras derivadas.

Considere que se pueden separar las variables

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),

de manera que se obtiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \underset{f\left(z\right)}{\underbrace{\frac{1}{U}\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}+n^{2}k_{0}^{2}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{1}{U}\frac{\partial U}{\partial z}}}+\underset{-f\left(y\right)}{\underbrace{\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}}=0

donde hay dos partes que dependen solamente de z y y respectivamente. Dado que éstas variables son independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la otra variable

constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2} . La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son

entonces para la variable y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)

y para la variable en z

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.

El parametro variable sufre un corrimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2} respecto al caso unidimensional Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sigma=0 para incidencia normal.

Representacién de amplitud y fase

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +

Si se considera un medio no magnético Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu=\mu_{0} , entonces la

ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.

La ecuación del movimiento armónico simple es: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x=A\sin(\omega t+\varphi) si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v=A\omega\cos(\omega t+\varphi) a=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)

cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sin(\omega t+\varphi)=1

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \cos(\omega t+\varphi)=1

si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{max}=A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v_{max}=A\omega

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}

--Letti GZ (discusión) 22:10 4 may 2013 (CDT)

Invariante

Sean dos soluciones linealmente independientes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{1}'=i\omega\mu V_{1} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{2}'=i\omega\mu V_{2}

Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{1} menos \eqref{eq: U der V 1}por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{2} se obtiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.

De manera anéloga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}

y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.

De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas

dos ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0

Coeficientes de reflexión y transmisión

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): T las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E}

y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H} , asi como la relación entre ellos para una onda plana

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}

Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{0}=A+R

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U\left(z=0\right)=U_{0} existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U\left(z_{l}\right)=T

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{1} que es la última capa; nosotros preferimos escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{l} (la última capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U=u\sqrt{\mu} , entonces la primera derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)

mientras que la segunda derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)

que podemos reagrupar como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]

La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}

que simplifica a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.

--Kanon1106 20:56 20 ene 2009 (CST)

Maxwell

Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario (unidades del SI)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\mathbf{B}=0 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{D} es el desplazamiento eléctrico, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{B} el desplazamiento magnético, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H} el campo magnético y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E} el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \rho=0 pero permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores devienen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\mathbf{D}=0 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}

donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen inalteradas.

relaciones constitutivas

Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La permitividad y permeabilidad son:

• independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña
• escalares para medios isotrópicos
• independientes del espacio para medios homogéneos
• independientes del tiempo para medios no dispersivos
• cantidades puramente reales para medios sin abosorción

Consideremos un medio isotrópico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{D}=\varepsilon_{t}\left(\mathbf{r},t,\mathbf{E}\right)\mathbf{E}.

De la ecuación (div D =0}), se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)=\varepsilon_{t}\nabla\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=0\quad\Rightarrow\mbox{ }\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{t}}\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}.

Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{B}=\mu_{t}\mathbf{H} y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\left(\mu_{t}\mathbf{H}\right)=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\nabla\times\mathbf{H}=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.

Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\frac{\partial\left(\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu_{t}\frac{\partial\varepsilon_{t}\mathbf{E}}{\partial t}\right)}{\partial t}.

características del medio

Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal son cero creo que que que que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\frac{\partial^{2}\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)}{\partial t^{2}},

para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu_{t}=\mu_{0} .

Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.

Para un medio homogéneo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},

se obtiene la ecuación de onda.

Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas --Wendy 03:25 29 oct 2010 (UTC)

We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.

Gsfwiki (discusión) 11:12 25 sep 2018 (CDT)

La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.

Sesebasi (discusión) 22:17 2 dic 2018 (CST)

introduction

Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\mathbb{R}\right) , complex numbers Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\mathbb{R}^{2}\right) , quaternions Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\mathbb{R}^{4}\right) and octonions Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\mathbb{R}^{8}\right) . If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{R}^{n} are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert = \left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert equality for scator algebras.

Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it a priori. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.

Lagrange’s identity for complex numbers

Let Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_{i},b_{i}\in\mathbb{C} be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.

The product identity Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}-b_{i}\bar{b}_{i}+a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right) reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.

Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series up to fourth order

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i-b_i|b_i+a_i|a_ib_i|b_i)=1-_i=1ⁿ(a_i|a_i+b_i|b_i)+_i=1ⁿa_i|a_ib_i|b_i
+_i<jⁿ(a_i|a_ia_j|a_j+b_i|b_ib_j|b_j)+_i<jⁿ(a_i|a_ib_j|b_j+a_j|a_jb_i|b_i)+O⁵⁺.[eq:series LHS complex O5]

The two factors on the RHS are also written in terms of series

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i)_i=1ⁿ(1-b_i|b_i)=(1-_i=1ⁿa_i|a_i+_i<jⁿa_i|a_ia_j|a_j+O⁵⁺)
(1-_i=1ⁿb_i|b_i+_i<jⁿb_i|b_ib_j|b_j+O⁵⁺).

The product of this expression up to fourth order is

_i=1ⁿ(1-a_i|a_i)_i=1ⁿ(1-b_i|b_i)=1-_i=1ⁿ(a_i|a_i+b_i|b_i)
+(_i=1ⁿa_i|a_i)(_i=1ⁿb_i|b_i)+_i<jⁿ(a_i|a_ia_j|a_j+b_i|b_ib_j|b_j)+O⁵⁺.[eq:series RHS complex O5]

Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right). The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms, thus

(_i=1ⁿa_ib_i)(_i=1ⁿa_ib_i)-_i<jⁿ(a_ib_i|a_j|b_j+|a_i|b_ia_jb_j)+_i<jⁿ(a_i|a_ib_j|b_j+a_j|a_jb_i|b_i)
=(_i=1ⁿa_i|a_i)(_i=1ⁿb_i|b_i).

The terms of the last two series on the LHS are grouped as Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right), in order to obtain the complex Lagrange’s identity Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\overline{a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right). In terms of the modulii, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i<j}^{n}\left|a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right|^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).

other identities

The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right) are Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sum_{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum_{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right) and its counterpart, obtained by interchanging the variables Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a and Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b .'

Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is

_i=1ⁿ(1-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)=1+_i=1ⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)
+_i<jⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)(-a_j²-b_j²+a_j²b_j²)
+_i<j<kⁿ(-a_i²-b_i²+a_i²b_i²)(-a_j²-b_j²+a_j²b_j²)(-a_k²-b_k²+a_k²b_k²)+O⁷⁺.

Consider only the sixth order terms

O⁶(LHS)=-_i<jⁿ[a_i²a_j²(b_i²+b_j²)+b_i²b_j²(a_i²+a_j²)]-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²+b_i²b_j²b_k²
-_i<j<kⁿ(a_i²a_j²b_k²+a_i²b_j²a_k²+b_i²a_j²a_k²)-_i<j<kⁿ(a_i²b_j²b_k²+b_i²a_j²b_k²+b_i²b_j²a_k²)

The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order

_i=1ⁿ(1-a_i²)_i=1ⁿ(1-b_i²)=(1-_i=1ⁿa_i²+_i<jⁿa_i²a_j²-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²+O⁷⁺)
(1-_i=1ⁿb_i²+_i<jⁿb_i²b_j²-_i<j<kⁿb_i²b_j²b_k²+O⁷⁺),

and only sixth order terms retained

O⁶(RHS)=-_i<j<kⁿa_i²a_j²a_k²-_i<j<kⁿb_i²b_j²b_k²-(_i=1ⁿa_i²)(_i<jⁿb_i²b_j²)-(_i=1ⁿb_i²)(_i<jⁿa_i²a_j²).

These two results are equated for equal powers of Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a^{n}b^{m} . The terms Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a^{6} and Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b^{6} give trivial identities whereas the terms involving Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a^{4}b^{2} and Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a^{2}b^{4} give the non trivial sixth order identities

Prueba 1

Ecuaciones de Maxwell

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=\rho\;\;\;\;\; Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{B}=0\;\;\;\;\; Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J\,\,}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}

--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)

Prueba de arhivos(.svg)

Figura de SVG

Nota: el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina

--Tlacaelel Cruz (discusión) 18:51 26 nov 2015 (CST)

---

Criterios de segunda derivada

Suponga que $f(x,y)$ tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de $(x_{0},y_{0})$ y que $\nabla f(x_{0},y_{0})=0$.

Sea $D=D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})$ (el cual es el determinante/Hessiano):

a) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$ es un valor máximo local.

b) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$ es un valor mínimo local.

c) Si $D<0$, entonces $f(x_{0},y_{0})$ no es un valor extremo, $(x_{0},y_{0})$ es un punto silla.

d) Si $D=0$, el criterio no es concluyente

Funciones vectoriales

Una función vectorial de una variable real, es una funciónde la forma $\gamma:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que para cada $t\in D$, $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$

Dado que $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$ , para cada $t$ perteneciente a $D$, este tiene n-coordenadas, las cuales suelen ser, funciones de la variable $t$. Así. podemos escribir

\[ \gamma\left(t\right)=\left(\gamma_{1}\left(t\right),\gamma_{2}\left(t\right),\gamma_{3}\left(t\right),\ldots,\gamma_{n}\left(t\right)\right) \]

donde $\gamma_{i}\left(t\right):D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},i=1,2,3,\ldots,n$ son funciones de la variable $t$, llamadas funciones coordenadas de $\gamma$(o funciones componentes de $\gamma$)

El dominio de $\gamma$ con funciones componentes $\gamma_{i}$ es:

\[ Dom\left(\gamma\right)=\cap_{i=1}^{n}Dom\left(\gamma_{i}\right) \]

Particularmente, para $n=3$, una función $f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$, puede ser escrita como $f\left(t\right)=f_{1}\left(t\right)\hat{i}+f_{2}\left(t\right)\hat{j}+f_{3}\left(t\right)\hat{k}$ para cada $t$ perteneciente a $D$; donde $f_{1},f_{2},f_{3}$ son las funciones componentes de $f$. Su dominio es:

\[ Dom\left(f\right)=Dom\left(f_{1}\right)\cap Dom\left(f_{2}\right)\cap Dom\left(f_{3}\right) \]

Teorema de Fubini

Sea f una función tal que $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ con $I:=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b;c\leq y\leq d\}.$ Entonces:

\[ \underset{I}{\iint}f(x,y)dxdy=\mathop{\int}_{a}^{b} dx\mathop{\int}_{c}^{d}f(x,y)dy=\mathop{\int}_{c}^{d}dy\mathop{\int}_{a}^{b}f(x,y)dx \]

Matemático Guido Fubini

Campo magnético

Típicamente representamos el campo magnético de dos maneras diferentes:

1. Describimos matemáticamente el campo magnético como un campo vectorial. Podemos representar directamente este campo como un conjunto de vectores dibujados en una cuadrícula. Cada vector apunta en la dirección en la que lo haría una brújula y su magnitud depende de la fuerza magnética. Arreglar muchas brújulas en un patrón de cuadrícula y colocar este patrón en un campo magnético ilustra esta técnica. La única diferencia en este caso es que una brújula no muestra la intensidad del campo.
2. Una forma alternativa para representar la información contenida en un campo vectorial es por medio de las lineas de campo. En esta representación, omitimos la cuadrícula y conectamos los vectores con líneas suaves. Podemos dibujar tantas líneas como queramos.

conclusions

Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.