Optica: Capitulo4-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4, con el siguiente formato:

Problema 1

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma

--Gael

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Ejercicio 4.45

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Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de ${\theta }_{i}$ muestre que ${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$, Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal ${\left\lceil {-r}_{\bot }\right\rceil }_{{\theta }_{i}\sim 0}={\frac {n-1}{n+1}}$

Solución:

Tenemos los siguientes datos conocidos:

Indice de refracción del aire ${n}_{i}$ es: 1

Indice de refracción del dieléctrico ${n}_{t}$ es :$n$

Ángulo de incidencia = ${\theta }_{i}$

Ángulo de refracción = ${\theta }_{t}$

Aplicando la ley de Snell:

${n}_{i}sin{\theta }_{i}={n}_{t}sin{\theta }_{t}$

$sin{\theta }_{i}=nsin{\theta }_{t}\quad ......(1)$

Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:

$sin{\theta }_{t}={\theta }_{i}$

$sin{\theta }_{t}={\theta }_{t}$

La Ecuación (1) se reduce:

$n{\theta }_{t}={\theta }_{i}$

De la última expresión tenemos:

${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$

Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando ${\theta }_{i}$ muy pequeñas :

${r}_{\bot }=-{\frac {sin({\theta }_{i}-{\theta }_{t})}{sin({\theta }_{i}+{\theta }_{t})}}\quad .....(a)$

Haciendo la consideración:

${r}_{\bot }={\frac {({\theta }_{t}-{\theta }_{i})}{({\theta }_{i}+{\theta }_{t})}}$

ocupando ${\theta }_{t}={\frac {{\theta }_{i}}{n}}$ , y sustituyendo en la ultima ecuación:

${r}_{\bot }={\frac {({\frac {{\theta }_{i}}{n}}-{\theta }_{i})}{({\theta }_{i}+{\frac {{\theta }_{i}}{n}})}}$

Factorizando ${\theta }_{i}$

${r}_{\bot }={\frac {{\theta }_{i}({\frac {1}{n}}-1)}{{\theta }_{i}(1+{\frac {1}{n}})}}$

Reduciendo:

${r}_{\bot }={\frac {(1-n)}{(1+n)}}$

Finalmente tenemos:

${\left(-{r}_{\bot }\right)}_{{\theta }_{i}\approx 0}={\frac {n-1}{n+1}}$

--Luis Manuel Chávez Antonio