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| ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== | | ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== |
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| '''2.9''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región, defina <math>\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\mathbb{C}\}</math>. Si <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es holomorfa, defina <math>f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}</math> mediante <math>f^*(z)=\overline{f(\bar z)}</math>. Demuestre que <math>f^*</math> es holomorfa. | | '''2.9''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región, defina <math>\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\Omega\}</math>. Si <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es holomorfa, defina <math>f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}</math> mediante <math>f^*(z)=\overline{f(\bar z)}</math>. Demuestre que <math>f^*</math> es holomorfa. |
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| :'''Demostración:''' | | :'''Demostración:''' |
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| Sea <math>z\in\Omega, w\in\Omega^*</math>, con <math>w=\bar z</math>, <math>z=a+bi</math>. Definimos <math>A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}</math> funciones diferenciables tales que <math>f(z)=A(a,b)+B(a,b)i</math>, con lo cual <math>f</math> es holomorfa, entonces | | Sea <math>z\in\Omega, w\in\Omega^*</math>, entonces <math>\bar w\in\Omega</math>, tomando <math>\bar w=z=a+bi</math>. Definimos <math>A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}</math> funciones diferenciables tales que <math>f(z)=A(a,b)+B(a,b)i</math>, con lo cual <math>f</math> es holomorfa, entonces |
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| <math>f^*(w)=\overline{f(\bar w)}=\overline{f(z)}=\overline{A(a,b)+B(a,b)i}=A(a,b)+\big(-B(a,b)\big)i</math> Como <math>B(a,b)</math> es diferenciable, entonces <math>-B(a,b)</math> tambien lo es, luego <math>f^*</math> es diferenciable. | | <math>f^*(w)=\overline{f(\bar w)}=\overline{f(z)}=\overline{A(a,b)+B(a,b)i}=A(a,b)+\big(-B(a,b)\big)i</math> Como <math>B(a,b)</math> es diferenciable, entonces <math>-B(a,b)</math> tambien lo es, luego <math>f^*</math> es diferenciable. |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si
es una región, defina
. Si
es holomorfa, defina
mediante
. Demuestre que
es holomorfa.
- Demostración:
Sea
, entonces
, tomando
. Definimos
funciones diferenciables tales que
, con lo cual
es holomorfa, entonces
Como
es diferenciable, entonces
tambien lo es, luego
es diferenciable.
Por lo tanto
es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea
donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
![f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} =
\lim_{h\to 0} \overline{h} = 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96dc70834ee62c13936921ecd02d0b50242253d)
- Si z \ne 0
- Si
tenemos:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b95a44aba2fa969086bd718abfe5e06c15e415)
- Si
entonces:
![\lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e754a7ab4ed686a867e2844008e1e8d9c96ad69)
- como
![z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3ebf0be2e5e5ccce2d0143c2f3bc5d50d1a216)
![\therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a714bd36bb0c062aa85378b58a856233623542)
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante. Similarmente, si
es constante, entonces
es constante.
Sea
a)
por lo tanto
.
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R)
.
Lo que implica que
b)
por lo tanto
.
Y por las condiciones C-R
.
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si
es holomorfa,
una región y
es constante, desmuestre que
es constante.
Si
y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa,
es holomorfa.
Ahora, como
las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre
implican
.
Así que tenemos que ![\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} =0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579287f76617fd9d0322f1b999afd02837463d98)
y, por lo tanto,
.
Análogamente,
y
.
Entonces
y
son constantes y por tanto
.
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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