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== 1.1.2 == | == '''SECCIÓN 1.1.2''' == | ||
'''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' | '''1. Demuestre que <math>\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}</math>''' | ||
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<math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math> | <math>\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|} = \frac{\left|a + i b\right|}{\left|c + i d\right|} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}} = \left|\frac{z}{w}\right|</math> | ||
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Contribución de: [[Usuario:Gabita|Gabita]] 22:15 28 sep 2009 (UTC) | |||
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Resolviendo la | Resolviendo la división de números complejos, de la forma: | ||
<math>\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}</math>: | |||
<math>\frac{\left(-5-12i\right)\left(4+i\right)}{\left(4-i\right)\left(4+i\right)}=\frac{-20-5i-48i+12}{17}=\frac{-8-53i}{17}</math> | |||
=<math>-\frac{8}{17}-\frac{53}{17}i</math>. | |||
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Contribución de:[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:00 28 sep 2009 (UTC) | |||
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'''3. Demuestre que <math>\alpha</math> es raiz de un polinomio real si y solo si <math>\overline{\alpha}</math> lo es.''' | |||
<math>\ | Sea <math>\overline{\alpha}</math> solucion de un polinomio real, | ||
entonces <math>\overline{\alpha} \in \mathbb{R}</math> | |||
como <math>\overline{\alpha} = \alpha</math>, por lo tanto <math>\alpha</math> tambien es solucion. | |||
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Contribución de: [[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 06:35 30 sep 2009 (UTC) | |||
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'''5. Sean <math>z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}</math> tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.''' | |||
[[ | [[Archivo:Complejaej-cap1.1Triangulo.svg|600px|thumb|center|Figura 1]] | ||
Tenemos que | Tenemos que | ||
$<math>\left | \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} \right | = \left | \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right |,\qquad (1)</math> | |||
y, por lo tanto, | y, por lo tanto, | ||
<math>\frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)</math> | |||
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: | De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
|z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\ | |z_2 - z_1| = A,\qquad | ||
|z_2 - z_3| = C | |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|,\qquad | ||
|z_2 - z_3| = C | |||
\qquad (3)</math></center> | |||
De (2) y (3) tenemos que: | De (2) y (3) tenemos que: | ||
Línea 110: | Línea 136: | ||
<center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center> | <center><math>\alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)</math></center> | ||
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero. | |||
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Contribución de:[[Usuario:Belen|Belen]] 02:48 29 sep 2009 (UTC) | |||
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''' | '''6. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que <math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \left|{z}\right|}</math> | ||
Puesto que el número complejo z puede escribirse como | |||
<math>{z = Re(z)+iIm(z) }</math> | |||
<math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2} }</math> | |||
Se deduce que | |||
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}</math> | |||
<math>{\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo | |||
<math>{{[\left|{Re(z)}\right|-\left|{Im(z)}\right|]^2}{\ge }0}</math> | |||
Entonces | |||
<math>{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|{\ge }0}</math> | |||
O sea | |||
<math>{{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
O de otra manera | |||
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
Sumando <math>{\left|{z}\right|^2}</math>, a ambos lados se tiene | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
Como | |||
<math>{\left|{z}\right|^2 = \left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2 }</math> | |||
Entonces | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{Re(z)}\right|^2+\left|{Im(z)}\right|^2+2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
De donde | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }[\left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|]^2}</math> | |||
Sacando raíces cuadradas positivas | |||
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge} \left|{Re(z)}\right|+\left|{Im(z)}\right|}</math> | |||
Por lo tanto | |||
<math>{{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}{\ge}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}}</math> | |||
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Contribución de: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 29 sep 2009 (UTC) | |||
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'''6-bis. Sea <math>{z = x+iy }</math>, pruebe que | |||
<math>{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}{\le}{\sqrt{2} \ \left|{z}\right|}</math> | |||
Tenemos que <math>{z = x+iy }</math>, entonces de la teoria sabemos que | |||
<math>{\left|{z}\right| = \sqrt{[x]^2+[y]^2} }\qquad (1)</math> | |||
<math>{\left|{x}\right|=\left|{Re(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> | |||
<math>{\left|{y}\right|=\left|{Im(z)}\right|}{\le}{ \left|{z}\right|}</math> | |||
Tambien es inmediato que para z <math>\in \mathbb{R}</math>, <math>\overline z = z</math>, y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que | |||
<math>{{[\left|{x}\right|-\left|{y}\right|]^2}{\ge}0}</math> | |||
Desarrollando el binomio se tiene que | |||
<math>{[x]^2+[y]^2-2\left|{x}\right|\left|{y}\right|{\ge }0}</math> | |||
<math>{{[x]^2+[y]^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> | |||
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como | |||
<math>{{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> | |||
Ahora sumando en ambos lados <math>{{\left|{z}\right|^2}}</math> obtenemos lo siguiente | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{z}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> | |||
Pero ademas como <math>{{\left|{z}\right|^2}={\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2}}</math>, lo sustituimos en el resultado anterior | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }\left|{x}\right|^2}+{\left|{y}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}</math> | |||
Es facil ver que | |||
<math>{{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}={[x]^2+[y]^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|}}</math> | |||
Utilizando este resultado se deduce que | |||
<math>{{2\left|{z}\right|^2}{\ge }{[\left|{x}\right|+\left|{y}\right|]^2}}</math> | |||
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado | |||
<math>{\sqrt{2}\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}</math> | |||
Que es lo que se queria mostrar. | |||
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Contribución de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 03:56 1 oct 2009 (UTC) | |||
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'''REVISADO''' | |||
'''7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados. | |||
[[Archivo:Complejaej-cap1.1Paralelogramo.svg|850px|center]] | |||
Sacamos las normas de los números complejos | |||
|z|=<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math> | |||
|w|=<math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}</math> | |||
Por algebra de vectores | |||
<math>|z|+|w|=|h|</math> | |||
Donde |h| es la resultante de |z|+|w| | |||
<math>\sqrt{(a)^2+(b)^2}</math>+ <math>\sqrt{(c)^2+(d)^2}=|h|</math> | |||
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores | |||
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h| | |||
Entonces si |z|+|w| = |h| | |||
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice | |||
d = cateto | |||
f = cateto | |||
<math>e^2=d^2+f^2</math> | |||
entonces tenemos que | |||
<math>(a)^2+(b)^2=|z|^2</math> | |||
<math>(c)^2+(d)^2=|w|^2</math> | |||
Aplicamos pitagoras | |||
<math>(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2=(c)^2+(d)^2+(a)^2+(b)^2</math> | |||
Por tanto | |||
<math>|z|^2 +|w|^2 = |h|^2</math> se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal. | |||
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Contribución de:[[Usuario:Karla|Karla]] 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez | |||
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[[Compleja:ej-cap1.1]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.4]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.1]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.4]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.5]] | |||
--[[ | [[Compleja:ej-cap3.1]] | ||
[[Compleja:ej-cap3.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.4]] | |||
[[categoría:Compleja]] | [[categoría:Compleja]] | ||
Revisión actual - 04:45 3 nov 2023
1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa
Sean con
Por demostrar
Por otra parte
Entonces se cumple .
Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
SECCIÓN 1.1.2
1. Demuestre que
Sean
Por otra parte
Contribución de: Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
2. Exprese de la forma
Por las propiedades ,
Simplificando, se obtiene:
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
:
=.
Contribución de:Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)
3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.
Sea solucion de un polinomio real,
entonces
como , por lo tanto tambien es solucion.
Contribución de: Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)
5. Sean tales que cumplen $\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.
Tenemos que
$
y, por lo tanto,
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
De (2) y (3) tenemos que:
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
Contribución de:Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)
6. Sea , pruebe que
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Se deduce que
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
Entonces
O sea
O de otra manera
Sumando , a ambos lados se tiene
Como
Entonces
De donde
Sacando raíces cuadradas positivas
Por lo tanto
Contribución de: Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)
6-bis. Sea , pruebe que
Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que
Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
Desarrollando el binomio se tiene que
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente
Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior
Es facil ver que
Utilizando este resultado se deduce que
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
Que es lo que se queria mostrar.
Contribución de: Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)
REVISADO
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Sacamos las normas de los números complejos
|z|= |w|=
Por algebra de vectores
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
+
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
Entonces si |z|+|w| = |h|
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
d = cateto
f = cateto
entonces tenemos que
Aplicamos pitagoras
Por tanto
se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
Contribución de:Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
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