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| ==Medio estratificado==
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| Medios dieléctricos con permitivdad <math>\varepsilon</math> y permeabilidad
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| <math>\mu</math> dependientes de la posicién. La dependencia espacial esté restringida
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| a una direccién en el caso estratificado (digamos en el eje ''z'' ).
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| Ondas monocrométicas linealmente polarizadas.
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| La ecuaciones de Maxwell son equivalentes ante la transformacién <math>\mathbf{E}\leftrightarrow\mathbf{H},\;\varepsilon\leftrightarrow-\mu</math>.
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| De manera que solo ondas TE se necesitan analizar en detalle.
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| ==Campo Eléctrico== | | ==Campo Eléctrico== |
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| entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math> | | entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math> |
| \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center> | | \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center> |
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| Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces | | Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces |
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| onda transmitida. | | onda transmitida. |
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| ==
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| <math>\alpha</math> | | <math>\alpha</math> |
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| que simplifica a<center><math> | | que simplifica a<center><math> |
| \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center> | | \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center> |
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| Solo estoy de curioso pero vamos a ver si entendi bien.
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| --[[Usuario:FJ777|FJ777]] 18:47 13 ago 2008 (CDT)
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| --[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST) | | --[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST) |
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| We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities. | | We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities. |
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| \[
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| E=mc^{2}
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| \]
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| [[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT) | | [[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT) |
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| Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality. | | Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality. |
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| fjelstad+gal1998 P. Fjelstad and S. G. Gal. n-dimensional hyperbolic complex numbers. ''Adv. Appl. Clifford Alg.'', 8(1):47–68, 1998.
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| catoni2005 F. Catoni, R. Cannata, E. Nichelatti, and P. Zampetti. Commmutative hypercomplex numbers and functions of hypercomplex variable: a matrix study. ''Advances in Applied Clifford Algebras'', 15(2):183–212, 2005.
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| fernandez-guasti2011<sub>2</sub> M. Fernández-Guasti. Alternative realization for the composition of relativistic velocities. In ''Optics and Photonics 2011'', volume 8121 of ''The nature of light: What are photons? IV'', page 812108–1–11. SPIE, 2011.
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| Steele2004 J. Michael Steele. ''Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities''. CUP, 2004.
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| <references />
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Ésta es una página de prueba
Vibraciones y ondas
If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period. hola
--mfg-wiki (discusión) 12:53 8 mayo 2015 (CDT)
$
F = \sqrt{s \over m}
$
$
\nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}.
$
\[
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz
\]
(c) $
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s
$
d) $
H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2
$
--Fernando Vazquez V. (discusión) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)
Medios estratificados - Ecuación diferencial
Ola en el proceso de 'reventar'
Holografía
Sesebasi (discusión) 15:13 30 nov 2018 (CST)
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:48 10 jul 2015 (CDT)
Campo Eléctrico
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,
isotrópico y lineal es
En ausencia de cargas y corrientes
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién ,
entonces .
Si el campo es TE y la propagación en el plano y-z , entonces
.
puesto que
y entonces .
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética
donde .
ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida
del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en
primeras derivadas.
Considere que se pueden separar las variables
de manera que se obtiene
donde hay dos partes que dependen solamente de z y y
respectivamente. Dado que éstas variables son
independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la
otra variable
constante .
La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de
la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son
entonces para la variable y
y para la variable en z
El parametro variable sufre un corrimiento
respecto al caso unidimensional
para incidencia
normal.
Representacién de amplitud y fase
Si se considera un medio no magnético , entonces la
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a
La ecuación del movimiento armónico simple es:
si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema
cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir
si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue
--Letti GZ (discusión) 22:10 4 may 2013 (CDT)
Invariante
Sean dos soluciones linealmente independientes
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por menos \eqref{eq: U der V 1}por
se obtiene
De manera anéloga
y
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas
dos ecuaciones
Coeficientes de reflexión y transmisión
Sean , y las amplitudes complejas del campo eléctrico
incidente, reflejado y transmitido.
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos
y , asi como la relación entre ellos para una onda plana
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en
existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que es el campo
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales
a los campos.
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe
el argumento de como que es la última capa; nosotros
preferimos escribir (la última capa) donde ya solamente hay
onda transmitida.
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante
la transformación , entonces la primera derivada es
mientras que la segunda derivada es
que podemos reagrupar como
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}
que simplifica a
--Kanon1106 20:56 20 ene 2009 (CST)
Maxwell
Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario
(unidades del SI)
donde es el desplazamiento eléctrico,
el desplazamiento magnético, el campo magnético y
el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres pero
permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores
devienen
donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen
inalteradas.
relaciones constitutivas
Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La
permitividad y permeabilidad son:
- independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña
- escalares para medios isotrópicos
- independientes del espacio para medios homogéneos
- independientes del tiempo para medios no dispersivos
- cantidades puramente reales para medios sin abosorción
Consideremos un medio isotrópico:
De la ecuación (div D =0}), se obtiene:
Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que
y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como:
Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:
características del medio
Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo
y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal
son cero creo que que que que
para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío .
Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene
Para un medio homogéneo
se obtiene la ecuación de onda.
Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas
--Wendy 03:25 29 oct 2010 (UTC)
We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.
Gsfwiki (discusión) 11:12 25 sep 2018 (CDT)
La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.
Sesebasi (discusión) 22:17 2 dic 2018 (CST)
introduction
Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers , complex numbers , quaternions and octonions . If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the equality for scator algebras.
Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it a priori. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.
Lagrange’s identity for complex numbers
Let be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.
The product identity reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.
Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series[1] up to fourth order
i=1n(1-ai|ai-bi|bi+ai|aibi|bi)=1-i=1n(ai|ai+bi|bi)+i=1nai|aibi|bi
+i<jn(ai|aiaj|aj+bi|bibj|bj)+i<jn(ai|aibj|bj+aj|ajbi|bi)+O5+.[eq:series LHS complex O5]
The two factors on the RHS are also written in terms of series
i=1n(1-ai|ai)i=1n(1-bi|bi)=(1-i=1nai|ai+i<jnai|aiaj|aj+O5+)
(1-i=1nbi|bi+i<jnbi|bibj|bj+O5+).
The product of this expression up to fourth order is
i=1n(1-ai|ai)i=1n(1-bi|bi)=1-i=1n(ai|ai+bi|bi)
+(i=1nai|ai)(i=1nbi|bi)+i<jn(ai|aiaj|aj+bi|bibj|bj)+O5+.[eq:series RHS complex O5]
Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms[2], thus
(i=1naibi)(i=1naibi)-i<jn(aibi|aj|bj+|ai|biajbj)+i<jn(ai|aibj|bj+aj|ajbi|bi)
=(i=1nai|ai)(i=1nbi|bi).
The terms of the last two series on the LHS are grouped as in order to obtain the complex Lagrange’s identity In terms of the modulii,
other identities
The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity are and its counterpart, obtained by interchanging the variables and .'
Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is
i=1n(1-ai2-bi2+ai2bi2)=1+i=1n(-ai2-bi2+ai2bi2)
+i<jn(-ai2-bi2+ai2bi2)(-aj2-bj2+aj2bj2)
+i<j<kn(-ai2-bi2+ai2bi2)(-aj2-bj2+aj2bj2)(-ak2-bk2+ak2bk2)+O7+.
Consider only the sixth order terms
O6(LHS)=-i<jn[ai2aj2(bi2+bj2)+bi2bj2(ai2+aj2)]-i<j<knai2aj2ak2+bi2bj2bk2
-i<j<kn(ai2aj2bk2+ai2bj2ak2+bi2aj2ak2)-i<j<kn(ai2bj2bk2+bi2aj2bk2+bi2bj2ak2)
The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order
i=1n(1-ai2)i=1n(1-bi2)=(1-i=1nai2+i<jnai2aj2-i<j<knai2aj2ak2+O7+)
(1-i=1nbi2+i<jnbi2bj2-i<j<knbi2bj2bk2+O7+),
and only sixth order terms retained
O6(RHS)=-i<j<knai2aj2ak2-i<j<knbi2bj2bk2-(i=1nai2)(i<jnbi2bj2)-(i=1nbi2)(i<jnai2aj2).
These two results are equated for equal powers of . The terms and give trivial identities whereas the terms involving and give the non trivial sixth order identities
Prueba 1
Ecuaciones de Maxwell
--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)
Prueba de arhivos(.svg)
Nota: el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina
--Tlacaelel Cruz (discusión) 18:51 26 nov 2015 (CST)
conclusions
Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.
- ↑ Recall that products of the form can be expanded in terms of sums as where means terms with order three or higher in .
- ↑ The conjugate series product is .