Vibraciones en estructuras

Introducción

El estudio de las vibraciones en estructuras es de vital importancia para garantizar la seguridad de una edificación, este tipo de análisis comenzó a tomarse en serio cuando ocurrió un terremoto en Santa Barbara , California y causo múltiples daños a las estructuras de la localidad. Una de las razones principales de lo ocurrido fue que al realizar los cálculos para las cargas con las que interactúa la estructura nunca se considero una carga generada por un terremoto, en otras palabras, no se considero un análisis dinámico de la estructura.

Santa Barbara, Cal.

Cuando se consideran problemas más realistas como los que involucran fuerzas de fricción debidas a superficies o debidas a un medio viscoso es frecuente que no se logre una solución analítica de problema sin embargo es posible una solución numérica que permitirá una conocer un comportamiento aproximado del problema. Existen numerosos métodos numéricos para distintos propósitos , un ejemplo de ello son los métodos para determinar integrales definidas (regla se Simpson y método del trapecio).Para brindar una solución numérica a las ecuaciones que involucran un análisis dinámico se requiere el método conocido como elemento finito o el método de diferencias finitas. En el presente escrito se utilizará el método se empleara el método del elemento finito para realizar un estudio de las vibraciones en estructuras.

Cuando se comenzó el desarrollo del análisis vibracional en estructuras y comenzó el uso de los métodos numéricos, los ingenieros estructuristas se percataron de lo complicado que pueden tornarse los cálculos por la gran cantidad de valores numéricos que se manejan. Este inconveniente dio pie al desarrollo de software especializado para poder facilitar los cálculos y posteriormente permitir una visualización y simulación computarizada de la estructura.

Antes del software

En la actualidad existen numeras empresas que ofrecen software para diseño mecánico y su posterior análisis.Un ejemplo de esto es el software ANSYS.

Par comenzar con el estudio se planteará primeramente un problema que involucra una vibración con varios grados de libertad y las ecuaciones involucradas en este problema, el propósito de esto tiene la finalidad de hacer una introducción a la notación y los objetos matemáticos empleados a lo largo del escrito. Una vez familiarizados con la notación se procede a realizar un análisis a la ecuaciones de Lagrange, las cuales se emplearán en el planteamiento de la formulación de elemento finito para miembros axiales , conociendo esta formulación resulta inmediata la formulación para vigas y marcos.

Ansys

Múltiples grados de libertad.

Como se explico anteriormente , el propósito de este primer apartado es hacer una introducción a la notación a emplear y a los métodos matemáticos involucrados. Consideremos la imagen mostrada a continuación.

Ejemplo 1

De la imagen anterior y considerando un desplazamiento con la condición $ x_2 > x_1 $ , tenemos lo siguiente.

$ m_1 \ddot{x_1} + 2kx_1 -kx_2 = 0$

$ m_2 \ddot{x_2} -kx_1 + 2kx_2 = 0$

En forma matricial las ecuaciones anteriores se escriben de la forma expresada a continuación.

$ \left(\begin{smallmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} \ddot{x_1} \\ \ddot{x_2} \\ \end{smallmatrix}\right) $ + $ \left(\begin{smallmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k\\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{smallmatrix}\right) $

La expresión anterior adquiere una forma mas compacta de la forma siguiente:

$[M] [\ddot{x} ] + [K][x]=0$

Debe notarse que el sistema de ecuaciones diferencias esta acoplado , es decir abas ecuaciones incluyen las variables $ x_1 , x_2$. Se procede a dividir el sistema de ecuaciones entre $ m_1$ y $m_2$ respectivamente para obtener la forma siguiente:

$[\ddot{x}] + [M]^{-1} [K][x] = 0$

A continuación se asumen soluciones de la forma $ x_1(t) = X_1 Cos(\omega t + \phi)$ y $ x_2(t) = X_2 Cos(\omega t + \phi)$ , o para expresar lo anterior de forma mas reducida se usa una forma matricial como la mostrada a continuación:

$[x] = [X] Sin(\omega t + \phi)$

Lo cual permite llegar al siguiente el resultado una ves simplificadas las funciones trigonometricas.

$-\omega^{2}$ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ + $ \left(\begin{smallmatrix} 2k/m_1 & -k/m_1 \\ -k/m_2 & 2k/m_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0\\ 0 \\ \end{smallmatrix}\right) $

Reescribiendo la ecuacion anterior obtenemos el resulado mostrado a continuación.

$ -\omega^{2}$ $ \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1\\ X_2\\ \end{smallmatrix}\right) $ + $ \left(\begin{smallmatrix} 1/m_1 & 0 \\ 0 & 1/m_2\\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k\\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1\\ X_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ \end{smallmatrix}\right) $

Grupando terminos se llega al siguiente resultado.

$[ \left(\begin{smallmatrix} 2k/m_1 & -k/m_1 \\ -k/m_2 & 2k/m_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ $-\omega^{2}$ $ \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{smallmatrix}\right)] $ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1\\ X_2\\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ \end{smallmatrix}\right) $

Realizando la operación entre matrices tenemos el resultado buscado.

$[ \left(\begin{smallmatrix} -\omega^{2} + 2k/m_1 & -k/m_1 \\ -k/m_2 & -\omega^{2} + 2k/m_2 \\ \end{smallmatrix}\right)] $ $ \left(\begin{smallmatrix} X_1\\ X_2\\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ \end{smallmatrix}\right) $

La expresión anterior tiene solución no trivial si y solo si el determinante de la matriz es cero, asignamos valores numericos para poder ontener las frecuencias natuales haciendo $m_1 = m_2 = 0.1 kg$ y ,$k = 100 N/m$ obtenemos la siguiente ecuación.

$ \omega^{4} - 4000\omega^{2} + 3,000,000 = 0$

Se procede a resolver la ecuación anterior con wolfram Mathemathica y se muestran las frecuencias naturales de oscilación, el conocer estas frecuencias en una estructura permitirá poder prever el movimiento al que están sujetas ciertas partes de la estructura y por lo tanto se podrán diseñar disipadores estructurales para un optimo funcionamiento de la edificación.

Solución

Ecuaciones de Lagrange

A continuación se emplearán las ecuaciones de Lagrange para poder obtener expresiones similares a las obtenidas anteriormente y mostrar así la equivalencia entre las ecuaciones de Newton y las ecuaciones de Lagrange.

Ejemplo2

Del diagrama anterior se obtienen las expresiones para la energía cinética y potencial,

$\mathcal{E}_{\mathrm{kin}} = 1/2 m_1 \dot{x_1}^{2} + 1/2 m_2 \dot{x_2}^{2},$

$V = 1/2 k_1 x_1^{2} + 1/2 k_2 (x_2 - x_1)^{2}.$

Las ecuaciones de Lagrange para los dos grados de libertad son las siguientes:

$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} - \frac{\partial L}{\partial x_1} = 0$

$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_2}} - \frac{\partial L}{\partial x_2} = 0$

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} = m_1 \ddot{x_1}$

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_2}} = m_2 \ddot{x_2}$

$\frac{\partial L}{\partial x_1} = k_1 + k_2(x_1 - x_2)$

$\frac{\partial L}{\partial x_2} = k_2(x_2 - x_1)$

Evaluando las expresiones anteriores en las ecuaciones de Lagrange , obtenemos el sistema de ecuaciones mostrando en seguida.

$m_1 \ddot{x_1} + (k_1 + k_2)x_1 - k_2 x_2 = 0$

$m_2 \ddot{x_2} - k_2x_1 + k_2 x_2 = 0$

Si se expresamos las ecuaciones anteriores en forma matricial se obtiene un resultado parecido al obtenido anteriormente.

$ \left(\begin{smallmatrix} m_1 & 0\\ 0 & m_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} \ddot{x_1}\\ \ddot{x_2}\\ \end{smallmatrix}\right) $ + $ \left(\begin{smallmatrix} k_1 + k_2 & -k_2\\ -k_2 & k_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ $ \left(\begin{smallmatrix} x_1\\ x_2 \\ \end{smallmatrix}\right) $ = $ \left(\begin{smallmatrix} 0\\ 0 \\ \end{smallmatrix}\right) $

Formulación de elemento finito para miembros axiales

A continuación se emplean las ecuaciones de Lagrange para determinar la matriz de masa en un elemento axial y posteriormente se obtienen las frecuencias naturales para el mismo tipo de elemento. Debe recordarse que un miembro axial es aquel que solo puede presentar dos estados : compresión o tensión.

Se comienza por considerar que el desplazamiento uniaxial se expresa de la forma siguiente:

$u=S_i U_i + S_j U_j$

Donde cada función se expresa a continuación en función de la variable x ,la variable para el problema ilustrado en la imagen anterior.

$S_i = 1- x/L$

$S_j = x/L$

Se expresa la energía cinética del miembro como la suma de de las energías cinéticas de las partículas constitutivas.

\[T= \int_{0}^{L} \! (\gamma /2 )\dot{u}^{2} \, dx \]

En la expresión anterior $\gamma$ es la masa por unidad de longitud y $\dot{u} $es la velocidad de las partículas a lo largo del miembro. La velocidad $\dot{u}$ puede ser expresada como en términos de las velocidades nodales , es decir :

$\dot{u} = S_i \dot{U_i} + S_j \dot{U_j}$

Evaluando la expresión anterior en la integral para obtener la energía cinética tenemos lo siguiente.

\[T= \int_{0}^{L} \! (\gamma /2 ) (S_i \dot{U_i} + S_j \dot{U_j})^{2}\, dx \]

Aplicando las ecuaciones de Lagrange obtenemos lo siguiente.

\[ \frac{\partial T}{\partial \dot{U_i}} = (\gamma/2)\int_{0}^{L} \! 2S_i (S_i \dot{U_i} + S_j \dot{U_j})\, dx\] \[ \frac{\partial T}{\partial \dot{U_j}} = (\gamma/2)\int_{0}^{L} \! 2S_j (S_i \dot{U_i} + S_j \dot{U_j})\, dx\] \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{U_i}} =\gamma \int_{0}^{L} \! S_i ^{2}\ddot{U_i} dx + \gamma \int_{0}^{L} \! S_i S_j\ddot{U_j} dx \] \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{U_i}} =\gamma \int_{0}^{L} \! S_j ^{2}\ddot{U_j} dx + \gamma \int_{0}^{L} \! S_i S_j\ddot{U_i} dx \]

Recordando que $U_i$ y $U_j$ son funciones de x , tenemos los siguientes resultados.

\[ \gamma \int_{0}^{L} \! S_i ^{2} dx = \gamma \int_{0}^{L} \! (1-x/L)^{2} dx = \gamma L/3 \] \[ \gamma \int_{0}^{L} \! S_i S_j dx = \gamma \int_{0}^{L} \! (1-x/L)(x/L) dx = \gamma L/6 \] \[ \gamma \int_{0}^{L} \! S_j ^{2} dx = \gamma \int_{0}^{L} \! (x/L)^{2} dx = \gamma L/3 \]

Si se subsisten los resultados anteriores en las ecuaciones de Lagrange se puede notar que la matriz de masa tiene la forma siguiente:

\[ [M]^{e} = \gamma L/6 \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\\ \end{smallmatrix}\right) \]

Y la matriz de rigidez para miembros axiales tiene la forma siguiente:

\[ [K]^{e} = A E/L \left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\\ \end{smallmatrix}\right) \]

Estas dos matrices se aplicarán al análisis de una viga circular empotrada en un extremo.

Viga empotrada.

Evaluando los datos de la figura anterior tenemos lo siguiente:

\[ [K]^{1} = [K]^{2} = [K]^{3}= 1.4*10^ {9}\left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\\ \end{smallmatrix}\right)\]

Realizando un arreglo a ambas matrices y considerando que nodo uno carece de movimiento por la condicion de empotramiento obtenemos las siguiente matrices.

\[ [M]^{G} = \left(\begin{smallmatrix} 0.36 & 0.09 & 0\\ 0.09 & 0.36 & 0.09 \\ 0 & 0.09 & 0.18\\ \end{smallmatrix}\right)\]

\[[K]^{G} = 10^{9}\left(\begin{smallmatrix} 2.8 & -1.4 & 0\\ -1.4 & 2.8 & -1.4\\ 0 & -1.4 & 1.4\\ \end{smallmatrix}\right)\]

Se procede a invertir la matriz de masa y se multiplica por la matriz de rigidez, una vez realizado este se calculan los eigenvalores.A continuación se muestra una captura de pantalla del software Matlab que se empleó para realiza las operaciones entre matrices.

Solución empleando Matlab

Si se calcula la raíz cuadrada de cada elemento del vector de eigenvalores se obtienen las siguientes frecuencias naturales de oscilación para la viga circular. \[\omega_1 = 1.599*10^5 rad/s\] \[\omega_2 =0.8819*10^5 rad/s \] \[\omega_3 = 0.2697*10^5 rad/s\]

Bibliografía

https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/fem/stiffness.php Alexjosemeza (discusión) 08:50 17 nov 2020 (CST)