Vibra: probs c3

--Alma 16:20 24 jun 2020 (CST)Main cap.3

Problema 3.1

Para un vibrador con m = 0.010 $kg$ y k = 36 $N\cdot m^{-1}$

(a) ¿Qué valor de b haría disminuir la amplitud de A a $\frac{A}{e}$ en 1.0 s?

(b) ¿Cuál es el Q-valor de tal sistema?

(c) ¿Qué valor de b produciría amortiguamiento crítico? A) ¿Qué valor de b haría disminuir la amplitud de A a A/e en 1.0 s? }

La oscilación amortiguada se define como el movimiento de un oscilador que reduce su movimiento después de algún tiempo debido a una fuerza externa. Estos movimientos de amplitud gradualmente decreciente se conocen como movimiento armónico simple amortiguado. Para una amortiguación pequeña, la expresión de la amplitud se da de la siguiente manera;

A(t)=Ao($e^{(-\gamma t/2)})$ --------------(1)

Donde Ao es la amplitud inicial y γ es constante y t el tiempo de oscilación.

Para una amortiguación crítica γ=2ωo -------------------(2)

Donde ωo es la frecuencia. Sustituimos 1 s en la ecuación 1

$\frac{A(t)}{Ao}=\frac{1}{e}$ Sustituimos $\frac{1}{e}$ por $\frac{A(t)}{Ao}$en la ecuación anterior

$\frac{A(t)}{Ao}=e^{(-\gamma t/2)})$ $\frac{1}{e}=e^{(-\gamma t/2)})$

Entonces queda $1=\gamma t/2$ pero t= 1 s, entonces $\gamma=2s^{-1}$

El valor de b se calcula de la siguiente manera $\gamma=\frac{b}{m}$

$b=\gamma m$

Sabemos que $\gamma=2s^{-1}$ y que m=0.010kg

$b=(2s^{-1})(0.01kg)$

Por lo tanto para el sistema ligeramente amortiguado el valor de b es

b=0.020kg*s$^{-1}$

B) ¿Cuál es el Q-valor de tal sistema?

Para un sistema ligeramente amortiguad, la expresión de la frecuencia se denota como $\omega f=\sqrt{\omega o-\frac{\gamma^{2}}{4}}$

Siendo ωf la frecuencia final y ωf = k/m la frecuencia inicial, entonces queda $\omega f=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4}}$

Sustituimos K=36N/m y m=0.010kg y $\gamma=2s^{-1}$

$\omega f=\sqrt{\frac{36}{0.01}-\frac{2^{2}}{4}}$

$\omega f=\sqrt{3600-1}$

$\omega f=59.991s^{-1}$

La ecuación para Q es la siguiente

$Q=\frac{\omega f}{\gamma}$

Sustituimos los valores ya encontrados anteriormente y queda

$Q=\frac{59.991}{2}=29.99$

Por lo tanto para Q en un sistema ligeramente amortiguado Q=30

C) ¿Qué valor de b produciría amortiguamiento crítico?

Para un amortiguamiento critico $\gamma=2\omega o$, Pero tambien sabemos que $\gamma=\frac{b}{m}$ entonces $\frac{b}{m}=2\omega o$

$b=2\omega o*m$

$b=2\sqrt{\frac{k}{m}}*m$

$b=2(6)(0.01)=1.2kg*s^{-1}$

Por lo tanto el valor de b para una oscilación amortiguada es $b=1.2kg*s^{-1}$

Problema 3.2

Demuestre que la amplitud de una vibración amortiguada se reduce a la mitad en un tiempo de $\frac{1.39}{\gamma}$.

Problema 3.3

Demuestre que los máximos sucesivos de $\psi$ durante una vibración amortiguada están separados a tiempo por $\frac{2\pi}{\omega_{f}}$

Problema 3.4

Una forma conveniente de medir $\gamma$ para un vibrador ligeramente amortiguado es grabar el período $\tau$ y la relación $r$ de cualquier máximo al siguiente. Demuestre que $\gamma$ viene dado por $\frac{2In(r)}{\tau}$ (La cantidad en $r$ se llama decremento logarítmico).

Problema 3.5

Demuestre que un vibrador ligeramente amortiguado pierde aproximadamente $\frac{2\pi}{Q}$ de sun energia durante cada ciclo.

Problema 3.6

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que la energía cae en un factor $\frac{1}{e}$ en el curso de aproximadamente $\frac{Q}{2\pi}$ ciclos.

Problema 3.7

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que $\omega_{f}\approx\omega_{0}(1-\frac{1}{8Q^2})$

Problema 3.8

Un sistema ligeramente amortiguado se pone en vibración con las condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot{\psi}(0)=v_{1}$. Demuestre que el movimiento posterior está dado por \begin{equation} \psi(t)=\frac{v_{1}}{\omega{f}}e^{-\frac{1}{2}\gamma t}Sen(\omega_{f}t) \end{equation}

Problema 3.9

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento desplazando la masa a una distancia $A_{1}$ a la derecha y luego tirarlo de vuelta hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial $\omega_{0}A_{1}$. Demuestre que el movimiento resultante está dado por \begin{equation} \psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t} \end{equation} (Tenga en cuenta que esta es la decadencia exponencial simple que rechazamos como la solución general con amortiguación crítica.)

Problema 3.10

Un cierto sistema tiene una rigidez de 10 $N\cdot m^{-1}$ y está muy amortiguado. Se observa que la masa se mueve hacia la izquierda a 10 $mm\cdot s^{-1}$ cuando su posición es de 30 mm a la derecha de su posición de equilibrio. Calcule la resistencia.

Problema 3.11

Se pone en marcha un sistema críticamente amortiguado con condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot\psi(0)=v_{1}$

a) Demuestre que el movimiento posterior está dada por \begin{equation} \psi(t)=v_{1}te^{-\omega_{0}t} \end{equation}

b) Demuestre que el desplazamiento máximo es $\frac{v_{1}}{e\omega_{0}}$