Vibra: probs c3

Problemas capítulo 3 Amortiguación.

Ejercicios resueltos acerca de amortiguación en resortes.

Del libro Vibrations and waves in physics del autor Iain G. Main. 3ra Edición.

Problema 3.1

Para un vibrador con m = 0.010 $kg$ y k = 36 $N\cdot m^{-1}$

(a) ¿Qué valor de b haría disminuir la amplitud de A a $\frac{A}{e}$ en 1.0 s?

(b) ¿Cuál es el Q-valor de tal sistema?

(c) ¿Qué valor de b produciría amortiguamiento crítico?

Inciso a 

A) ¿Qué valor de b haría disminuir la amplitud de A a A/e en 1.0 s? }

La oscilación amortiguada se define como el movimiento de un oscilador que reduce su movimiento después de algún tiempo debido a una fuerza externa. Estos movimientos de amplitud gradualmente decreciente se conocen como movimiento armónico simple amortiguado. Para una amortiguación pequeña, la expresión de la amplitud se da de la siguiente manera;

$A(t)=A_o(e^{(-\gamma t/2)})$ --------------(1)

Donde $A_o$ es la amplitud inicial y γ es constante y t el tiempo de oscilación.

Para una amortiguación crítica γ=2ωo -------------------(2)

Donde $\omega_o$ es la frecuencia. Sustituimos 1 s en la ecuación 1

$\frac{A(t)}{Ao}=\frac{1}{e}$ Sustituimos $\frac{1}{e}$ por $\frac{A(t)}{Ao}$en la ecuación anterior

$\frac{A(t)}{Ao}=e^{(-\gamma t/2)})$ $\frac{1}{e}=e^{(-\gamma t/2)})$

Entonces queda $1=\gamma t/2$ pero t= 1 s, entonces $\gamma=2s^{-1}$

El valor de b se calcula de la siguiente manera $\gamma=\frac{b}{m}$

$b=\gamma m$

Sabemos que $\gamma=2s^{-1}$ y que m=0.010kg

$b=(2s^{-1})(0.01kg)$

Por lo tanto para el sistema ligeramente amortiguado el valor de b es

b=0.020kg*s$^{-1}$

Inciso b

B) ¿Cuál es el Q-valor de tal sistema?

Para un sistema ligeramente amortiguad, la expresión de la frecuencia se denota como $\omega f=\sqrt{\omega o-\frac{\gamma^{2}}{4}}$

Siendo ωf la frecuencia final y ωf = k/m la frecuencia inicial, entonces queda $\omega f=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4}}$

Sustituimos K=36N/m y m=0.010kg y $\gamma=2s^{-1}$

$\omega f=\sqrt{\frac{36}{0.01}-\frac{2^{2}}{4}}$

$\omega f=\sqrt{3600-1}$

$\omega f=59.991s^{-1}$

La ecuación para Q es la siguiente

$Q=\frac{\omega f}{\gamma}$

Sustituimos los valores ya encontrados anteriormente y queda

$Q=\frac{59.991}{2}=29.99$

Por lo tanto para Q en un sistema ligeramente amortiguado Q=30

Inciso c

C) ¿Qué valor de b produciría amortiguamiento crítico?

Para un amortiguamiento critico $\gamma=2\omega o$, Pero también sabemos que $\gamma=\frac{b}{m}$ entonces $\frac{b}{m}=2\omega o$

$b=2\omega o*m$

$b=2\sqrt{\frac{k}{m}}*m$

$b=2(6)(0.01)=1.2kg*s^{-1}$

Por lo tanto el valor de b para una oscilación amortiguada es $b=1.2kg*s^{-1}$

Problema 3.2

Demuestre que la amplitud de una vibración amortiguada se reduce a la mitad en un tiempo de $\frac{1.39}{\gamma}$.

Solución 3.2

La expresión para la posición de la partícula en un oscilador forzado es

$\psi(t)=A~exp(-\frac{1}{2} \gamma t)Cos(\omega _f ~t+\phi)$

donde $\psi(t)$ es el desplazamiento de la partículas en un tiempo $t$, $A$ es la amplitud máxima y $\gamma$ es el coeficiente de de amortiguamiento.

Si la amplitud $A$ decrece como la $exp (-\frac{1}{2}\gamma t)$, la expresión para la amplitud dependiente del tiempo debe ser

$a(t)=A~exp(-\frac{1}{2} \gamma t)$

Si $a(t)=\frac{A}{2}$, ya que nos interesa saber en qué tiempo tenemos la mitad de la amplitud,

$\Rightarrow\frac{A}{2}=A~exp(-\frac{1}{2}\gamma t)$

$\frac{1}{2}=exp(-\frac{1}{2} \gamma t)$

$ln(\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2}\gamma t)$

$-ln(2)=(-\frac{1}{2} \gamma t)$

$t=\frac{2ln2}{\gamma }$

$t=\frac{1.39}{\gamma}$

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Resuelto por usuario: Ana Laura Mariscal (discusión) 23:23 11 nov 2020 (CST)

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Problema 3.3

Demuestre que los máximos sucesivos de $\psi$ durante una vibración amortiguada están separados a tiempo por $\frac{2\pi}{\omega_{f}}$

Solución 3.3

Para el movimiento armónico amortiguado podemos expresar la posición de la partícula como

$\psi (t)=A exp (-\frac{1}{2} \gamma t)Cos(\omega _f t+\phi)$

El periodo está expresado por el argumento del coseno, de manera que encontraremos un máximo cuando $\omega _f t+\phi=2\pi$ y la distancia entre máximo y máximo es de un periodo

Sabemos que $\phi$ es una constante y representa la fase, por lo que, si no se encuentra desfasado, $\phi=0$

$\Rightarrow~\omega _ft=2\pi$

De esta manera, nos queda que los máximos sucesivos están separados por

$t=\frac{2\pi}{\omega_f}$

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Resuelto por usuario: Ana Laura Mariscal (discusión) 17:49 16 nov 2020 (CST)

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Problema 3.4

Una forma conveniente de medir $\gamma$ para un vibrador ligeramente amortiguado es grabar el período $\tau$ y la relación $r$ de cualquier máximo al siguiente. Demuestre que $\gamma$ viene dado por $\frac{2In(r)}{\tau}$ (La cantidad en $r$ se llama decremento logarítmico).

Problema 3.5

Demuestre que un vibrador ligeramente amortiguado pierde aproximadamente $\frac{2\pi}{Q}$ de sun energia durante cada ciclo.

Problema 3.6

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que la energía cae en un factor $\frac{1}{e}$ en el curso de aproximadamente $\frac{Q}{2\pi}$ ciclos.

Problema 3.7

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que $\omega_{f}\approx\omega_{0}(1-\frac{1}{8Q^2})$

Problema 3.8

Un sistema ligeramente amortiguado se pone en vibración con las condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot{\psi}(0)=v_{1}$. Demuestre que el movimiento posterior está dado por \begin{equation} \psi(t)=\frac{v_{1}}{\omega{f}}e^{-\frac{1}{2}\gamma t}Sen(\omega_{f}t) \end{equation}

Problema 3.9

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento desplazando la masa a una distancia $A_{1}$ a la derecha y luego tirarlo de vuelta hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial $\omega_{0}A_{1}$. Demuestre que el movimiento resultante está dado por \begin{equation} \psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t} \end{equation} (Tenga en cuenta que esta es la decadencia exponencial simple que rechazamos como la solución general con amortiguación crítica.)

Problema 3.10

Un cierto sistema tiene una rigidez de 10 $N\cdot m^{-1}$ y está muy amortiguado. Se observa que la masa se mueve hacia la izquierda a 10 $mm\cdot s^{-1}$ cuando su posición es de 30 mm a la derecha de su posición de equilibrio. Calcule la resistencia.

Solución 3.10

La ecuación que describe a un oscilador amortiguado es

$m\frac{d^2\psi}{dt^2}=-k\psi-p\frac{d\psi}{dt}$

donde $\psi$ es el desplazamiento desde la posición de equilibrio, $m$ la masa, $k$ es la rigidez y $p$ la resistencia.

Como el amortiguamiento es muy grande, la aceleración es

$\frac{d^2\psi}{dt^2}=0$

$\Rightarrow -k\psi-p\frac{d\psi}{dt}=0$

Despejando la $p$ nos queda,

$-k\psi=p\frac{d\psi}{dt}$

$\Rightarrow p=-\frac{k\psi}{\frac{d\psi}{dt}}$

Sustituyendo los datos del problema,

$p=-\frac{k\psi}{\frac{d\psi}{dt}}=\frac{(10Nm^{-1})(0.03m)}{0.01m/s}=30Kg/s$

Por lo que la resistencia es,

$p=30 \frac{Kg}{s}$

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Resuelto por usuario: Ana Laura Mariscal (discusión) 18:34 16 nov 2020 (CST)

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Problema 3.11

Se pone en marcha un sistema críticamente amortiguado con condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot\psi(0)=v_{1}$

a) Demuestre que el movimiento posterior está dada por \begin{equation} \psi(t)=v_{1}te^{-\omega_{0}t} \end{equation}

b) Demuestre que el desplazamiento máximo es $\frac{v_{1}}{e\omega_{0}}$