Vibra: probs c3

--Alma 16:20 24 jun 2020 (CST)Main cap.3

Problema 3.1

Para un vibrador con m = 0.010 kg y k = 36 N$m^{-1}$

(a) ¿Qué valor de b haría disminuir la amplitud de A a $\frac{A}{e}$ en 1.0 s?

(b) ¿Cuál es el Q-valor de tal sistema?

(c) ¿Qué valor de b produciría amortiguamiento crítico?

Problema 3.2

Demuestre que la amplitud de una vibración amortiguada se reduce a la mitad en un tiempo de $\frac{1.39}{\gamma}$.

Problema 3.3

Demuestre que los máximos sucesivos de $\psi$ durante una vibración amortiguada están separados a tiempo por $\frac{2\pi}{\omega_{f}}$

Problema 3.4

Una forma conveniente de medir $\gamma$ para un vibrador ligeramente amortiguado es grabar el período $\tau$ y la relación $r$ de cualquier máximo al siguiente. Demuestre que $\gamma$ viene dado por $\frac{2In(r)}{\tau}$ (La cantidad en $r$ se llama decremento logarítmico).

Problema 3.5

Demuestre que un vibrador ligeramente amortiguado pierde aproximadamente $\frac{2\pi}{Q}$ de sun energia durante cada ciclo.

Problema 3.6

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que la energía cae en un factor $\frac{1}{e}$ en el curso de aproximadamente $\frac{Q}{2\pi}$ ciclos.

Problema 3.7

Para un vibrador ligeramente amortiguado, demuestre que $\omega_{f}\approx\omega_{0}(1-\frac{1}{8Q^2})$

Problema 3.8

Un sistema ligeramente amortiguado se pone en vibración con las condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot{\psi}(0)=v_{1}$. Demuestre que el movimiento posterior está dado por \begin{equation} \psi(t)=\frac{v_{1}}{\omega{f}}e^{-\frac{1}{2}\gamma t}Sen(\omega_{f}t) \end{equation}

Problema 3.9

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento desplazando la masa a una distancia $A_{1}$ a la derecha y luego tirarlo de vuelta hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial $\omega_{0}A_{1}$. Demuestre que el movimiento resultante está dado por \begin{equation} \psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t} \end{equation} (Tenga en cuenta que esta es la decadencia exponencial simple que rechazamos como la solución general con amortiguación crítica.)

Problema 3.10

Un cierto sistema tiene una rigidez de 10 $N\cdot m^{-1}$ y está muy amortiguado. Se observa que la masa se mueve hacia la izquierda a 10 $mm\cdot s^{-1}$ cuando su posición es de 30 mm a la derecha de su posición de equilibrio. Calcule la resistencia.

Problema 3.11

Se pone en marcha un sistema críticamente amortiguado con condiciones iniciales $\psi(0)=0$, $\dot\psi(0)=v_{1}$

a) Demuestre que el movimiento posterior está dada por \begin{equation} \psi(t)=v_{1}te^{-\omega_{0}t} \end{equation}

b) Demuestre que el desplazamiento máximo es $\frac{v_{1}}{e\omega_{0}}