Vibra: probs c1

Main cap.1

1.1 If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.

(a) \begin{equation} F = \sqrt{s \over m} \end{equation}

\begin{equation} f= \sqrt{36 \over 0.010} = 60 {s^{-1}} \end{equation}

(b) \begin{equation} f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz \end{equation}

(c) \begin{equation} T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s \end{equation} --David Hernandez Leon (discusión) 22:00 4 may 2013 (CDT)

La solución es correcta.

--Ernesto (discusión) 14:40 13 may 2013 (CDT)

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1.2

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1.3

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1.4

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1.5 The sistem shown at rest in fig 1.1, (a) coudl be set into motion by giving an initial displacement A1 and an initial velocity v1 (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time t=0, show that the amplitude A and the phase constant (phi) are given by.

1.5(“del sistema que se muestra en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento mediante un desplazamiento A1 y una velocidad v1 (digamos que ambas a la derecha). Asumiendo que el movimiento comienza al tiempo t=0, Demostrar que la amplitud y el angulo de desfase estan dados por.”)

$A=[A_{1}^{2}+({\frac {v_{1}}{\omega _{0}}})^{2}]^{\frac {1}{2}}$

$tan\phi =-{\frac {v_{1}}{A_{1}\omega _{0}}}$

Para esto partimos de la solucion de la ecuacion del oscilador armonico simple, donde la posicion (phi) en funcion del tiempo es:

$\psi _{(t)}=Acos(\omega _{0}t+\phi )$

De aqui la segunda condicion es para una velocidad, por lo cual derivamos para encontrar la velocidad en funcion del mismo tiempo.

${\dot {{\dot {\psi }}_{(t)}=-A\omega _{0}sen(\omega _{0}t}}+\phi )$

Entonces bajo las condiciones iniciales, del desplazamiento inicial A1 al tiempo t=0

$A_{1}=Acos(\phi )...(\alpha )$

Analogamente la velocidad t=o es v1

$v_{1}=-A\omega _{0}sen(\phi )...(\varsigma )$

De estas dos ecuaciones ya podemos sacar el valor de la amplitud para ello las formularemos del siguiente modo.

$A_{1}^{2}=A^{2}cos(\phi )^{2}$

${\frac {v_{1}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=A^{2}sen^{2}(\phi )$

Sumando ambas ecuaciones conseguimos.

$A_{1}^{2}+{\frac {v_{1}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=A^{2}[cos(\phi )^{2}+sen^{2}(\phi )]$

$\Rightarrow$

$A_{1}^{2}+{\frac {v_{1}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=A^{2}$

$\therefore$

$(A_{1}^{2}+{\frac {v_{1}^{2}}{\omega _{0}^{2}}})^{\frac {1}{2}}=A\centerdot$

Para el angulo (phi) de Desfase tenemos entonces las siguientes formulas

$A_{1}=Acos(\phi )$

$-{\frac {v_{1}}{\omega _{0}}}=Asen(\phi )$

Dividimos la segunda entre la primera y para eliminar las amplitudes.

$-{\frac {v_{1}}{A_{1}\omega _{0}}}={\frac {sen(\phi )}{cos(\phi )}}$

$\therefore$

$-{\frac {v_{1}}{A_{1}\omega _{0}}}=tan(\phi )\centerdot$

De esto se demostraron ambas propiedades. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:11 15 may 2013 (CDT)

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1.6Calculate a) the amplitude,b) the phase constant and c) the complex amplitude,for vibration given by

$\psi =\left(10mm\right)\cos w_{o}t+\left(17mm\right)\sin w{}_{o}t$

solución:

a)

partimos de la base que la suma de senos y cosenos se puede escribir como seno, es decir

$\psi \left(t\right)=A\cos w_{o}t+B\sin w_{o}t=A_{o}\sin \left(w_{o}t+\phi \right)\ldots \left(1\right)$

donde $A_{o}$ es la amplitud que queremos calcular,entonces por trigonometria sabemos que

$A_{o}\sin \left(w_{o}t\right)=A_{o}\cos \phi \sin w_{o}t+A_{o}\sin \phi \cos w_{o}t\ldots \left(2\right)$

igualando $\left(1\right)$ con $\left(2\right)$ sale que

$A_{o}\cos \phi =B\ldots \left(3\right)$

$A_{o}\sin \phi =A\ldots \left(4\right)$

ahora elevando al cuadrado $\left(3\right)$ y $\left(4\right)$ y sumando:

$A_{o}^{2}\left(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi \right)=A^{2}+B^{2}$

entonces tenemos que la amplitud es

$A_{o}^{2}=A^{2}+B^{2}$

$A_{o}={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}={\sqrt {10^{2}+17^{2}}}=19.7\approx 20mm$

b)

$\tan \phi =-{\frac {B}{A}}$

$\phi =\arctan \left(-{\frac {B}{A}}\right)=\arctan \left(-{\frac {17}{10}}\right)=-59.5\approx -60^{\text{0}}$

C)

Obsevando la solucion general,obtenemos que la amplitud compleja es:

$10mm-\left(17mm\right)i$

--MISS (discusión) 00:49 9 may 2013 (CDT)

En general la solución es correcta. En el último inciso deberías decir que la amplitud compleja está dada por

$D=A_{o}\cos \phi +iA_{o}\sin \phi .$

--Ernesto (discusión) 15:34 13 may 2013 (CDT)

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1.7 1.7 During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.

Dada la expresion para hallar la amplitud compleja:

$D=Acos(\phi )+\imath Asen(\phi )........(1.1).$

A partir de la expresion para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresion anterior:

$\psi _{(t)}=Acos(\mathbf {\omega _{0}{\mbox{t}}} +\phi )...............(1.2)$

desarrollando,

$\psi _{(t)}=Acos\mathbf {(\phi )} cos(\omega _{0}t)-Asen(\phi )sen(\omega _{0}t)....(1.3)$

Sean, $C_{1}=Acos(\phi )$

$C_{2}=Asen(\phi )$

Sustituyendo las constantes,

$\psi _{(t)}=C_{1}cos(\omega _{0}t)-Asen(\phi )sen(\omega _{0}t).....(1.3')$

Se toma la siguiente condicion $\psi _{(0)}=0.03m$ para la ec. (1.2)

$0.03m=Acos(\phi )....(1.2')$

Por tanto, $C{}_{1}$ es 0.03m.

Ahora, para $\psi _{(0.0012)}=-0.014m$ para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relacion

$\omega =\upsilon /2\pi$

entonces, $\omega =78.53s^{-1}$ .Sustituyendo en la ec. (1.3')

$-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)$

$-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}$

$-0.014m=0.002-0.001C_{2}$

$C_{2}=34m$

Finalmente, al sustituir en ec. (1.1). La amplitud compleja es:

$D=0.03m-\imath 34m$ --Daniela López Martínez (discusión) 18:53 15 may 2013 (CDT)

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1.8 Calculate the maximum acceleration (in units of g) of pickup stylus reproducing a frequency of 16 kHz, with an amplitude of 0.01mm.

Datos:

f =16kHz = 16000Hz.

A = 0.01mm = 0.00001m.

Resultado:

$\omega =2\pi f$

$\omega =2\pi (16000Hz)$

$\omega =32000\pi {\frac {rad}{s}}$

${\color {black}{\color {blue}\omega =100530.9649{\frac {rad}{s}}}}$

$\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega ^{2}$

$\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649{\frac {rad}{s}})^{2}$

$\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749{\frac {m}{s^{2}}}$ --Letti GZ (discusión) 22:17 4 may 2013 (CDT)

Tu solución está incompleta. Falta dividir el resultado final entre $g=9.8{\frac {m}{s^{2}}}$, pues te piden la aceleración en unidades de $g$.

--Ernesto (discusión) 16:04 13 may 2013 (CDT)

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--mfg-wiki (discusión) 15:07 2 may 2013 (CDT)